Индивидуальная экзаменационная работу по предмету «Высшая математика».

Задание 1. Найти решение дифференциального уравнения: у^{/ /} - 10у^/ = х²

Задание 2 Производственная мощность завода позволяет производить в месяц 20 тыс. изделий типа А или 16 тыс. изделий типа В. Прибыль, получаемая заводом при реализации одного изделия типа А, равна 800 руб., а типа В - 1000 руб. Чтобы перейти от выпуска одного изделия к выпуску другого требуется переналадка оборудования, которая сократит ежемесячный выпуск изделий А до 19 тыс., а изделий В - до 15 тыс. При выпуске обоих изделий одновременно их количество не может превышать 18 тыс. Определите ежемесячный план выпуска изделий, обеспечивающий наибольшую прибыль.

Задание 3. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид

1). Запишите функцию распределения и постройте ее график.

2). Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины х.

3). Какое смысловое значение имеют вычисленные в 2) числа?

4). Найдите математическое ожидание, дисперсию и среднеквадратическое отклонение случайной величины Y = 2X + 4.

Экзаменационные задания

по дисциплине « ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» (ВК 96(3))

Задание 1.

Найдите:

Определенный интеграл, используя метод непосредственного интегрирования

Неопределенный интеграл, используя метод подстановки

Неопределенный интеграл, используя метод разложения на простейшие дроби

Неопределенный интеграл, используя метод интегрирования по частям

Площадь фигуры, ограниченной линиями .

Задание 2.

Дана функция двух переменных F(x1,х2) = tx1 + 2x2 ,которая выполняется при условиях:

Покажите графически область допустимых значений данной функции. Запишите какие-нибудь допустимые значения переменных и найдите значение функции при этих значениях

Найдите максимальное и минимальное значения данной функции при заданных условиях.

По данному условию сформулируйте основную задачу линейного программирования. Затем запишите ее в стандартном виде и в каноническом виде.

Запишите задачу, двойственную к задаче из предыдущего пункта.

Определите решение двойственной задачи.

Задание 3.

Маркетинговая служба компании провела выборочное исследование цены на товар А на рынках и в магазинах города. Цена 3,9 тыс. рублей встретилась t раз, цена 4 тыс. руб. - t + 3 раза, цена 4,1 тыс. руб. - t + 5 раз, а цена 4,2 тыс. руб. - t + 1 раз.

Найдите статистическую вероятность каждого варианта цены на исследуемый товар и составьте таблицу распределения вероятностей, считая, что цена - это случайная величина.

Постройте многоугольник вероятностей полученной случайной величины.

Запишите функцию плотности вероятностей и постройте ее график.

Найдите математическое ожидание и дисперсию. Опишите смысловые значения полученных чисел.

Отец и сын независимо друг от друга одновременно купили товар А. Сколько вариантов такой парной покупки возможно? Все ли эти варианты равновероятны?

Индивидуальная экзаменационная работа по предмету «Высшая математика» (код ВК96-5).

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² - 4х + 6 и у = х + 2.

Задание 2. А - множество корней уравнения 3х² - 12х - 15 = 0, В - множество корней уравнения х² - 3х - 10 = 0, С - множество корней уравнения х³ - 10х² + 25х = 0.

1) Запишите множества А, В, С перечислением своих элементов.

2) Найдите мощности полученных множеств.

3) Придумайте и запишите множество М: М Ê А и |M| > |B|.

4) Выполните действия А Ç В, А \ С, А È В È С, В ´ С.

Задание 3. Выпущено 400 лотерейных билетов, причем 25 билетов принесут их владельцам выигрыш 200 рублей, 20 билетов 500 рублей, 15 билетов по 1000 рублей, остальные билеты безвыигрышные.

1) Найти вероятность хотя бы какого-нибудь выигрыша.

2) Составить закон распределения выигрыша для владельца одного билета.

3) Найти математическое ожидание данной случайной величины.

4) На основе полученных результатов сформулируйте вывод.

Индивидуальная экзаменационная работа по предмету «Высшая математика» (код ВК96-4).

Задание 1. Найти решение дифференциального уравнения:

Задание 2. А - множество корней уравнения 3х2 - 12х - 15 = 0, В - множество корней уравнения х2 - 3х - 10 = 0, С - множество корней уравнения х3 - 10х2 + 25х = 0.

1) Запишите множества А, В, С перечислением своих элементов.

2) Перечислите свойства каждого множества.

3) Придумайте и запишите множество М: М  А и |M| > |B|.

4) Выполните действия А  В, А \ С, А  В  С, В  С.

Задание 3. Выпущено 400 лотерейных билетов, причем 25 билетов принесут их владельцам выигрыш 200 рублей, 20 билетов 500 рублей, 15 билетов по 1000 рублей, остальные билеты безвыигрышные. Составить закон распределения выигрыша для владельца одного билета. Найти математическое ожидание данной случайной величины. На основе полученных результатов сформулируйте вывод.

Индивидуальная работа по предмету «Высшая математика ч. 3» (код ВК00).

Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

Задание 2. Найти неопределенный интеграл методом подстановки.

Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя интегрирование по частям.

Задание 4. Найти интеграл рациональной дроби.

Задание 5. Вычислить определенный интеграл.

Задание 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

у = 9 + 16х - х2 и у = 7х + 9

Задание 7. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл:

Задание 8. Решите дифференциальное уравнение: у // +2у / + 4 = 0.

Индивидуальная работа по предмету «Высшая математика ч. 3»

(код ВК00).

Задание 1. Найти неопределенный интеграл методом непосредственного интегрирования.

>

Задание 2. Найти неопределенный интеграл методом подстановки.

>

Задание 3. Найти неопределенный интеграл, используя интегрирование по частям.

>

Задание 4. Найти интеграл рациональной дроби.

>

Задание 5. Вычислить определенный интеграл.

>

Задание 6. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

у = 9 + 16х - х² и у = 7х + 9

Задание 7. Исследуйте на сходимость несобственный интеграл:

>

Задание 8. Решите дифференциальное уравнение: у ^// +2у ^/ + 4 = 0.

Индивидуальная работа по предмету «Высшая математика ч. 2».

код ВШ00

Задание 1. Даны множества А = {0; 2; 4; 6; 8; 9},

В = {5; 6; 7; 8; 9; 10},

С = {0; 3; 7; 9; 10}.

Найдите множества 1) А ∩ В, 2) А ∪ В, 3) С \ А, 4) А \ С,

5) (А ∩ С) ∩ (В ∩ С).

Задание 2. Из города А в город В можно добраться по железной дороге, на автобусе по шоссе и на катере по реке. Из города А в город С ведет железная дорога, шоссейная трасса, проселочная дорога, а также курсирует катер. Сколькими способами можно добраться из В в С, если известно, что в этих городах есть аэродромы.

Задание 3. Сколько стартовых шестерок можно образовать из числа 15 волейболистов?

Задание 4. Сколько разных пятибуквенных слов можно образовать из букв А, Ь, Д, И, К при условии, что ни одна буква не повториться (смысловые значения слов в расчет не принимать)?

Задание 5. Сколько разных трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Задание 6. В классе 25 учеников. Необходимо избрать старосту, культорга и редактора стенгазеты. Сколькими способами это можно сделать, если одно лицо может занимать только один пост?

Задание 7. В течении месяца в театрах города шли спектакли по пьесам русских писателей Чехова, Островского и Булгакова. Из 40 студентов первого курса каждый посмотрел либо пьесы всех трех авторов, либо только одного их них. Спектакли Чехова посмотрели 13 студентов, Островского - 16, а Булгакова - 19 студентов. Сколько студентов посмотрели спектакли всех трех авторов?

Задание 8. Найдите максимальное значение функции F = 3x1 + 2x5 - 5x6 при условиях

2х1 + х2 - 3х5 + 5х6 = 34

4х1 + х3 +2х5 - 4х6 = 28

-3х1 + х4 - 3х5 + 6х6 = 24

х1, х2...х6  0

Индивидуальная работа по предмету «Высшая математика ч. 2».

Задание 1. Даны множества А = {Т, Е, Л, О},

В = {Л, Е, Д},

С = {М, Е, Т, О, Д},

D = {П, Р, А, В, О}

Найдите множества 1) А ∪ В, 2) А ∩ С ∩ В, 3) С \ В, 4) В \ С,

5) (В \ С) ∩ D.

Задание 2. Озеро Круглое соединяется с озером Глубоким двумя протоками. А озеро Глубокое с озером Холодным шестью открытыми протоками и одним подземным каналом. Сколькими способами можно на катере добраться из Круглого в Холодное?

Задание 3. Сколько стартовых пятерок можно образовать из числа 10 юных хоккеистов?

Задание 4. Сколько разных пятизначных чисел можно образовать из цифр 0, 1, 2, 3, 4, при условии, что ни одна цифра не повториться?

Задание 5. Сколько разных двузначных чисел можно образовать из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Задание 6. В театральной труппе 25 человек. Из них 12 женщин и 13 мужчин. Все они обладают одинаковыми способностями. Необходимо выбрать актеров на роли Отелло, Яго и Дездемоны. Сколькими способами можно составить ведущую тройку?

Задание 7. 47 студентов 3-его курса юридического факультета знакомились с работой различных юридических учреждений. Известно, что в юридической консультации побывало 25 студентов, с работой нотариальной конторы знакомились 30 студентов, а на заседаниях суда присутствовали 28 студентов. Сколько студентов ознакомилось с работой всех трех юридических учреждений, если известно, что 16 человек были и в юридической консультации и в нотариальной конторе; 18 человек были в юридической консультации и в суде; а 17 - в нотариальной конторе и в суде?

Задание 8. Найдите максимальное значение функции F = 2x1 + x2 - x3 при условиях

х1 + х2 + х3 = 5

2х1 + 3х2 +х4 = 13

х1, х2...х4  0

Индивидуальная работа

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² - 4х + 6 и у = х + 2.

Задание 2 В течении месяца в театрах города шли спектакли по пьесам русских писателей Чехова, Островского и Булгакова. Из 40 студентов первого курса каждый посмотрел либо пьесы всех трех авторов, либо только одного их них. Спектакли Чехова посмотрели 13 студентов, Островского - 16, а Булгакова - 19 студентов. Сколько студентов посмотрели спектакли всех трех авторов?

Задание 3. Бросают три игральных кубика. Составить ряд распределения числа выпавших «шестерок» на трех кубиках. Запишите результат в таблицу распределения. Сделайте вывод о наиболее вероятном исходе одного такого испытания.

Задание 4. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид:

1). Запишите функцию распределения и постройте ее график.

2). Найдите математическое ожидание величины Х.

3). Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Индивидуальная работа

Задание 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х² - 6х + 9 и у = 4.

Задание 2 В течении месяца в театрах города шли спектакли по пьесам русских писателей Чехова, Островского и Булгакова. Из 40 студентов первого курса каждый посмотрел либо пьесы всех трех авторов, либо только одного их них. Спектакли Чехова посмотрели 13 студентов, Островского - 16, а Булгакова - 19 студентов. Сколько студентов посмотрели спектакли всех трех авторов?

Задание 3. Бросают три игральных кубика. Составить ряд распределения числа выпавших «единиц» на трех кубиках. Запишите результат в таблицу распределения. Сделайте вывод о наиболее вероятном исходе одного такого испытания.

Задание 4. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид:

1). Запишите функцию распределения и постройте ее график.

2). Найдите математическое ожидание величины Х.

3). Найдите дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины Х.

Индивидуальная работа ВЫ-00

Задание 1.

В магазин поступило 30 холодильников. Пять из них с дефектами. Покупатель выбирает случайным образом один из них. Найти вероятность того, что он будет

а) с дефектом, б) без дефекта.

Задание 2.

Из 100 изготовленных деталей 10 оказались нестандартными. Для проверки отобрали 5 деталей. Какова вероятность того, что две из них нестандартны.

Задание 3.

Предприятие обеспечивает регулярный выпуск продукции при безотказной поставке комплектующих от двух смежников. Вероятность отказа в поставке от первого из смежников - 0,05, от второго - 0, 08. Найти вероятность сбоя в работе предприятия.

Задание 4.

На предприятии работают две бригады рабочих: первая производит три четверти всей продукции с 4% браком, вторая - четверть всей продукции предприятия с процентом брака 6%. Найти вероятность того, что наугад взятое изделие а) окажется бракованным, б) брак допущен второй бригадой.

Задание 5.

Всхожесть семян данного растения равна 90%. Найти вероятность того, что из четырех посеянных семян взойдут: а) ровно три, б) не менее трех.

Задание 6.

Баскетболист делает три штрафных броска. Вероятность попадания при каждом броске равна 0,7. Постройте ряд распределения числа попаданий мяча в корзину. Запишите результат в таблицу распределения. Сделайте вывод о наиболее вероятном исходе этих штрафных бросков.

Задание 7.

Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид

Запишите функцию распределения и постройте ее график.

Задание 8.

Для ряда распределения из задания 7 найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины х.

Задание 9.

Даны законы распределения двух независимых случайных величин.

Найти математические ожидания и дисперсии величин

А = 5х + 3 и В = 2х + 3у.

Индивидуальная

Задание 1. Даны множества символов клавиатуры компьютера:

А = {@; $; %; &; *; #},

В = {<; $; >; &; @; =},

С = {#; &; =; %; +; №}.

Найдите множества 1) А ∩ В, 2) А ∪ В, 3) С \ А, 4) А \ С,

5) (А ∩ С) ∩ (В ∩ С).

Задание 2. Из города А в город В можно добраться по железной дороге, на автобусе по шоссе и на катере по реке. Из города А в город С ведет железная дорога, шоссейная трасса, проселочная дорога, а также курсирует катер. Сколькими способами можно добраться из В в С, если известно, что в этих городах есть аэродромы.

Задание 3. Сколько стартовых шестерок можно образовать из числа 12 волейболистов?

Задание 4. Сколько разных пятибуквенных слов можно образовать из букв В, Ж, Б, И, К при условии, что ни одна буква не повториться (смысловые значения слов в расчет не принимать)?

Задание 5. Сколько разных трехзначных чисел можно образовать из цифр 1, 3, 5, 7, 9, 0?

Задание 6. В классе 30 учеников. Необходимо избрать старосту, культорга и редактора стенгазеты. Сколькими способами это можно сделать, если одно лицо может занимать только один пост?

Задание 7. В течении месяца в театрах города шли спектакли по пьесам русских писателей Чехова, Островского и Булгакова. Из 40 студентов первого курса каждый посмотрел либо пьесы всех трех авторов, либо только одного их них. Спектакли Чехова посмотрели 13 студентов, Островского - 16, а Булгакова - 19 студентов. Сколько студентов посмотрели спектакли всех трех авторов?

>Задание 8. Найдите максимальное значение функции F = 3x₁ + 2x₅ - 5x₆ при условиях

2х₁ + х₂ - 3х₅ + 5х₆ = 34

4х₁ + х₃ +2х₅ - 4х₆ = 28

-3х₁ + х₄ - 3х₅ + 6х₆ = 24

х_1, х₂...х₆ ³ 0

Контрольная индивидуальная

Задание 1.

Начертить диаграмму Эйлера- Венна, иллюстрирующую построение события: (X+Y)ÇZ

Задание 2.

Решить задачу. В ящике находятся 10 бракованных изделий и 15 годных, которые тщательно перемешивают. Найти вероятность того, что наугад вытащенное изделие годное.

Задание 3.

В беспроигрышной лотерее выпущено 10000 билетов, среди которых 100 выигрышей по 1000 рублей, 200 выигрышей - 500 руб,500 по 200 руб., и 1000 выигрышей по 100 рублей, а остальное по 1 руб.

Какова вероятность того, что при покупке одного билета выигрыш составит не более 200 руб.?

Задание 4.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, заданной законом распределения

Задание 5.

Производится три независимых выстрела по мишени, вероятность попадания при каждом выстреле 0,4. Случайная величина х - число попаданий подчиняется закону Бернулли.

Определить характеристики величины х: М(х), D(x), s(x) и построить F(x).

Задание 6.

Как изменится выборочное среднее, мода, медиана и выборочная дисперсия, если каждый член выборки увеличить на 4?

Задание 7.

Дана двумерная выборка. Представить выборку графически и найти выборочный коэффициент корреляции.

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА ПО ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКЕ.

1. Расставить названия числовых множеств в таблицу-схему:
• целые числа,
• смешанные числа,
• периодические десятичные дробя,
• рациональные числа,
• иррациональные числа,
• конечные десятичные дроби,
• комплексные числа,
• мнимые числа,
• вещественные (действительные) числа.
В каждом выделенном блоке приведите пример числа, принадлежащего данному множеству.

2. Проверить дифференцированием справедливость равенства.


З. Дать геометрическую интерпретацию неопределенного интеграла для функции f(x), определенной для всех положительных чисел, если

f(x)=

4. Найти первообразную функции у, график которой проходит через точку А(0;10).

у =(1+2еx)2

5. Интегрируя по частям, найти интеграл

6. Найти интеграл рациональной дроби

7. Вычислить определенный интеграл


8. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

у =(х-2)2 +З, у=8-(х-1)2

9. Найти решение дифференциального уравнения

10. Найти решение линейного дифференциального уравнения

Контрольная работа по дисциплине «Математика» (часть 2)

Найти интеграл:
Найти интеграл:
Найти интеграл:
Найти интеграл:
Найти интеграл:
Вычислить интеграл:
Найти решение уравнения:
Найти решение уравнения:
Найти интеграл уравнения:
Найти общее решение уравнения:

Задание 1. Из города А в город В ведут 5 дорог, и из города В в город С - три дороги. Сколько путей, проходящих через В, ведут из А в С?

Задание 2. Имеется 6 пар перчаток различных размеров. Сколькими способами можно выбрать из них одну перчатку на левую руку и одну - на правую так, чтобы выбранные перчатки были разных размеров?

Задание 3. Пять девушек и трое юношей играют в городки. Сколькими способами они могут разбиться на две команды по 4 человека, если в каждой команде должно быть хотя бы по одному юноше?

Задание 4. В купе железнодорожного вагона имеются два противоположных дивана по 5 мест на каждом. Из 10 пассажиров этого купе четверо желают сидеть лицом к паровозу, 3 - спиной к паровозу, а остальным безразлично как сидеть. Сколькими способами могут разместиться пассажиры с учетом их желаний?

Задание 5. В почтовом отделении продаются открытки десяти видов в неограниченном количестве. Сколькими способами можно купить 12 открыток?

Задание 6. В соревновании по гимнастике участвуют 10 человек практически одинаковых по степени мастерства. Трое судей должны независимо друг от друга перенумеровать их в порядке, отражающем их успехи в соревновании, по мнению судей. Победителем считается тот, кого назовут первым хотя бы двое судей. В какой доле всех возможных случаев победитель будет определен?

Задание 7. В урне лежат 10 жетонов с числами 1, 2, 3, ..., 10. Из нее, не выбирая, вынимают 3 жетона. Во скольких случаях сумма написанных на них чисел не меньше 9?

Задание 8. Человек имеет 6 друзей и в течении 20 дней приглашает к себе 3 из них так, что компания ни разу не повторяется. Сколькими способами может он это сделать?

Задание 9. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром - 38 человек, с ветчиной - 42 человека, и с сыром и с колбасой - 28 человек, и с колбасой и с ветчиной - 31 человек, и с сыром и с ветчиной - 26 человек. Все три вида бутербродов взяли 25 человек, а несколько человек вместо бутербродов захватили с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

Задание 10. Найти решение задачи, состоящей в определении максимального значения функции:

при условиях

Контрольная работа

Задание 1. Даны два множества: А = {4т - 3; n>N}, В = {4n - 1; n>N}.
1) Опишите эти множества.
2) Найдите АВ. Запишите полученное множество формулой и опишите словами.
3) Найдите А В.
4). Найдите , если универсальным множеством считать N. Запишите
полученное множество формулой и опишите словами.

Задание 2. Сколькими способами можно выбрать троих человек из 10 кандидатов
1) на три одинаковых должности,
2) на три разных должности.

Задание 3. Сколько различных перестановок букв можно сделать в словах:
1) замок, 2) ротор, 3) колокол?

Задание 4. Множество М состоит из букв М = {Д, П, О, А, К}. Сколько различных трехбуквенных слов можно со ставить из букв этого множества, если:
1) буквы не повторяются,
2) буквы могут повторяться.
В каждом из случаев приведите примеры слов, имеющих смысловое значение и не имеющих его.

Задание 5. Сколько различных двузначных чисел можно образовать из чисел 0, 1,2,3,4?

Задание 6. В магазине продают три вида коробок с конфетами. Сколькими способами можно составить набор из 5 коробок?

Задание 7. 85 студентов четвертого курса должны записаться на спецкурсы по выбору. Всего открылись три разных спецкурса. На первый из них записались 35 студентов, на второй -47. Сколько студентов будут посещать третий спецкурс, если известно, что 14 записались на первый и на второй, 27- на второй и третий, 13 - на первый и третий, а все три спецкурса не будет посещать никто?

Задание 8. Решить задачу линейного программирования графическим методом:
F=3x1+2x2>max,

Задание 9. Решить задачу линейного программирования симплексным методом:
F=-3x1+x2+4x3>max,


Задание 10. Найдите экстремум функции f(х,у) = х2 + у2 при условии х + у =1 любым известным способом.

Контрольная работа по дисциплине «Математика» часть 4»

Задание 1.
Литье в болванках для дальнейшей обработки поступает из двух цехов: 70% из первого цеха и 30% из второго цеха. При этом материал 1-го цеха имеет 10% брака, а материал 2-го цеха - 20% брака. Найти вероятность того, что одна, взятая наудачу болванка не имеет дефектов.
Задание 2.
В турнире встречаются 10 шахматистов, имеющие одинаковые шансы на любой исход в каждой встрече (только одной для каждых двух, участников). Найти вероятность того, что какой-либо один из участников проведет все встреч и с выигрышем.
Задание 3.
Вероятность появления события Ав отдельном испытании равна 0.75. Какова вероятность того, что при восьмикратном повторении испытания это событие появится более 6 раз?
Задание 4.
Для определения средней урожайности поля площадью 1800 га взято на выборку по 1 м2 с каждого гектара. Известно, что по каждому гектару поля дисперсия не превышает 6. Оценить вероятность того, что отклонение средней выборочной урожайности отличается от средней урожайности по всему полю не более чем на 0.25 ц.
Задание 5.
Из партии 4000 деталей на выборку проверены 500. При этом оказалось 3% нестандартных. Определить вероятность того, что доля нестандартных деталей во всей партии отличается от их доли в выборке менее, чем на 1 %.
Задание 6.
Три товарища договорились встретиться. Первый из них никогда не опаздывает, но предупредил, что сможет прийти на встречу с вероятностью 0.9. Второй опоздает с вероятностью 0,2, а третий обычно опаздывает с вероятностью 0.4. Какова вероятность того, что к назначенному сроку (без опоздания) встретятся хотя бы двое из троих друзей?
Задание 7.
Вероятность появления события А в каждом из 12 повторных независимых испытаний Р(А)=р=0.75. Определите среднее значение и дисперсию случайной величины числа появлений события А в 12 независимых повторных испытаниях.
Задание 8.
При каком числе n независимых испытаний вероятность выполнения неравенства
где m - число появлений события А в этих n испытаниях, превысит 0.9, если вероятность появления события А в отдельном испытании р=0.7 ?

Контрольная работа

Задание 1.
В лотерее выпущено 10 000 билетов и установлено 10 выигрышей по 5 000 рублей, 100 выигрышей по 1000 рублей, 500 выигрышей по 250 рублей и 1000 выигрышей по 50 рублей. Гражданин купил один билет. Какова вероятность того, что:
1. у него окажется выигрышный билет;
2. его выигрыш составит не менее 250 рублей?

Задание 2.
Из 20 Акционерных обществ 4 являются банкротами. Гражданин приобрел по одной акции шести АО. Какова вероятность того, что среди этих акций 2 окажутся акциями банкротов?

Задание 3.
Три стрелка попадают в мишень с вероятностями 0,85; 0,8; 0,7. найдите вероятность того, что при одновременном выстреле всех трех стрелков в мишени будут пробиты 2 отверстия.

Задание 4.
В обувную мастерскую для ремонта приносят сапоги и туфли в соотношении 2 : 3. Вероятность качественного ремонта сапог 0,9, а для туфель - 0,85. проведена проверка качества одной пары обуви. Оказалось, что она отремонтирована качественно. Какова вероятность, что это:
1. сапоги;
2. туфли?

Задание 5.
Четыре покупателя приехали на оптовый склад. Вероятность того, что каждому из них потребуется холодильник марки «А» равна 0,4. Найдите вероятность того, что такой холодильник потребуется:

1. всем четырем покупателям;

2. не более, чем трем покупателям;

3. не менее, чем двум покупателям.

Задание 6.
Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента равна 0,15. Составьте ряд распределения числа отказавших элементов. Запишите результаты в таблицу распределения. Сделайте вывод о наиболее вероятном режиме работы устройства.

Задание 7.
Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид:

Запишите функцию распределения и постройте ее график.

Задание 8.
Для ряда распределения из задания 7 найдите математическое ожидание М(Х), дисперсию D(Х) и среднеквадратическое отклонение ?(Х).

Задание 9.
Найдите математическое ожидание и дисперсию величины У=2*Х-1, если Х - это случайная величина, заданная таблицей в задании 7.

Задание 10.
Путем измерения получена таблица зависимости величин х и у:

1. Построить эмпирическую линию регрессии,

2. Рассчитать коэффициенты прямой регрессии у по х,

3. Записать уравнение прямой регрессии у по х,

4. Построить график регрессии на том же поле, где построена эмпирическая линия,

5. Рассчитать коэффициент корреляции,

6. Сделать вывод о тесноте связи между величинами х и у.

Контрольная работа по дисциплине
« ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА часть 2» (ВШ 00)

Задание 1. Дано множество М = {tiЈx<t2jxe W}.

1. Запишите множество М перечислением всех его элементов,

2. Найдите мощность этого множества.

3. Является ли это множество конечным или бесконечным, почему?

4. Является ли это множество ограниченным сверху, снизу? Если да, то укажите границы множества.

5. Является ли это множество пустым? Почему?

6. Задайте множество Т: Т = М.

7. Задайте множество А: А с М.

8. Задайте множество В: В =э М.

Задание 2. Даны множества М= {tt < х < t21 x e #}иР={3^х?8!хе JV}. Выполните действия:

1. МиР;

2. МпР;

3. М\Р;

4. Р \ М.

Запишите результат перечислением элементов полученного множества и в виде неравенства.
Задание 3. На складе имеются t2 одинаковых деталей. Мастеру необходимо выбрать ti деталей. Сколькими способами он может это сделать? Ответ обоснуйте.
Задание 4. В автомастерской есть краски t| цветов. В данный момент покраски ждут t2 машин. Сколькими вариантами можно покрасить эти машины? Ответ обоснуйте.
Задание 5. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из t2 различных цифр, если:

1. цифры в трёхзначном числе не повторяются;

2. цифры могут повторяться;

3. в числе обязательно есть повторяющиеся цифры? Ответ обоснуйте.

Задание 6. Сколько различных перестановок букв можно сделать в каждом из трёх слов, если одно из них - Ваше имя, второе - Ваше отчество, третье - Ваша фамилия? Ответ обоснуйте.
Задание 7. Для производства двух видов изделий А и В используются три типа технологического оборудования. На производство единицы изделия А используется а/ ч оборудования I типа, а2 ч оборудования И типа и а$ ч оборудования Ш типа. На производство единицы изделия В используется bjч оборудования I типа, Ь2 ч оборудования II типа и Ь3 ч оборудования Ш типа. На изготовление всех изделий администрация предприятия может представить оборудование первого типа не более чем на с\ часов, оборудование второго типа - не более чем на с2 часов, а оборудование третьего типа - не более чем на с3 часов. Прибыль от реализации готового изделия А составляет d\ рублей, а изделия В - d2рублей.

1. Сформулируйте математическую модель задачи линейного программирования по данному условию.

2. Является ли она задачей целочисленного программирования? Почему?

3. Решите данную задачу графическим способом.

4. Дайте словесный ответ на вопрос: «При каком выпуске изделий А и В прибыль предприятия будет наибольшей?»

Числовые значения параметров задачи находятся в таблице в столбце под номером /;.
Задание 8. Решите предыдущую задачу симплексным методом.
Задание 9. На трёх оптовых базах находится однородный товар в количестве соответственно а/, ад а3. Три магазина заказали данный товар в количестве соответственно Ь\, Ь2> Ъ3. Расстояния между базами и магазинами приведены в матрице S.

1. Запишите математическую модель транспортной задачи.

2. Выясните, выполняется ли равенство /я, = /&,- ¦ Объясните смысл полученного вывода.

3. Является ли данная задача разрешимой? Почему?

Числовые значения параметров задачи находятся в таблице в столбце под номером t2.
Задание 10. Найдите экстремумы функции F= 2х + у при условии хг + у2 = //.

Контрольная работа ВЫ00

Задание 1. В коробке находится шесть шаров разного диаметра. Случайным образом шары извлекаются из коробки. Какова вероятность того, что их извлекут

а) в порядке увеличения диаметра, б) в порядке уменьшения диаметра.

Задание 2. В магазине имеются 10 женских и 6 мужских шуб. Для анализа качества случайным образом отобрали 3 шубы. Определите вероятность, что среди отобранных шуб окажутся

а) только женские, б) только женские или только мужские.

Задание 3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 14 штук с первого, 26 штук со второго, 10 штук с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0, 8, на втором - 0,9, на третьем - 0,8. Какова вероятность того, что взятое наугад изделие будет качественным?

Задание 4. Известно, что 10 % семян огурцов не всходят при посеве. Какова вероятность, что из 4 посеянных взойдут а) ровно два, б) от 1 до 3?

Задание 5. Вероятности рождения мальчика и девочки равны. Определите вероятность рождения а) одного мальчика в семье с тремя детьми, б) двух девочек в семье с пятью детьми.

Задание 6. Бросают три игральных кубика. Составить ряд распределения числа выпавших «шестерок» на трех кубиках. Запишите результат в таблицу распределения. Сделайте вывод о наиболее вероятном исходе одного такого испытания.

Задание 7. Ряд распределения дискретной случайной величины имеет вид

Запишите функцию распределения и постройте ее график.

Задание 8. Для ряда распределения из задания 7 найдите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение величины х.

Задание 9. Даны законы распределения двух независимых случайных величин.

Найти математические ожидания и дисперсии величин А = 7х - 4 и В = 3х + 2у.

Контрольная работа

Задание 1. По формулам Крамера решить систему уравнений:

Задание 2. Найти предел:

Задание 3. Найти производную функции:

Задание 4. Имеется 24 рулона металлической сетки по 10 м длиной каждый. Определить размеры наибольшего огорода прямоугольной формы, который можно обнести этой сеткой, используя в качестве одной из сторон стену близлежащего здания.

Задание 5. Найти точку пересечения касательных, проведенных к параболе 2y = 8 + x2 в точках её пересечения с параболой 4y = 5x2 + 4. Сделать чертёж.

Задание 6. Исследовать функцию и построить схематично её график.

Контрольная работа

Задача 1

При учете предъявленного векселя на сумму 25 млн. руб. за 45 дней до срока его погашения доход банка составил 1,45 млн. руб. Определите доходность этой финансовой операции для банка в виде простой годовой процентной ставки при расчетном количестве дней в году, равном 360.

Задача 2

Коммерческая фирма открыла расчетный счет 9 апреля 2007 года, разместив на нем 105 млн. руб. В этом же году: 17 мая со счета было снято 32 млн. руб., а 13 июня поступило 41 млн. руб. Чему равен остаток на конец второго квартала, т.е. на 30 июня при условии начисления простых процентов по ставке 11% годовых? Использовать британскую практику расчета процентов.

Задача 3

Требуется погасить ссуду в размере 655 тыс. руб. в течение 1 года 4 мес. с 21 января 2001 года по 21 мая 2002 года. Кредитор согласен получать частичные платежи. Проценты начисляются по простой ставке 21,5% годовых. Частичные поступления характеризуются следующими данными: 21 апреля 2001 г. - 80 тыс. руб.; 15 июля 2001 г. - 65 тыс. руб.; 17 октября 2001 г. - 75 тыс. руб.; 21 января 2002 г. - 85 тыс. руб. Необходимо рассчитать размер последнего платежа на 21 мая 2002 года и построить контур данной финансовой операции для метода торговца. Использовать британскую практику расчета процентов.

Задача 4

На основании условия предыдущей задачи необходимо рассчитать размер последнего платежа на 21 мая 2002 года и построить контур данной финансовой операции для актуарного метода. Использовать британскую практику расчета процентов.

Задача 5

Торговая компания рассматривает вариант инвестирования своей выручки в валютный депозит на 2 года под 9,5% годовых. Эксперты прогнозируют, что валютный курс за этот срок вырастет на 18,5%. При какой минимальной ставке сложных процентов по рублевым депозитам целесообразна двойная конвертация?

Задача 6

Частное лицо положило на депозит в банк 1,25 млн. руб. под 16,5% годовых сроком на 3 года. Договором предусмотрена ежегодная индексация первоначальной суммы вклада в соответствии с темпами инфляции, которые составили: 8,5% в первом году, 7,5% - во втором и 8% - в третьем. Требуется найти сумму денег, которую получит вкладчик по истечении срока депозита.

Задача 7

Требуется определить: через сколько лет страна "А" догонит страну "Б", если текущий уровень экономического развития страны "А" равен 2, а у страны "Б" он составляет 3 при том, что в первой стране среднегодовой темп прироста экономики равен 3,9%, а во второй он составляет 2,8%?

Задача 8

Частное лицо положило на депозит в коммерческий банк 47 тыс. руб. на условиях начисления каждые полгода сложных процентов по годовой номинальной процентной ставке 18%. Через полтора года вкладчик снял со счета 19 тыс. руб., а через 4 года после этого закрыл счет. Найдите сумму, полученную вкладчиком при закрытии счета.

Задача 9

В начале года предприниматель обратился в коммерческий банк за кредитом в размере 55 тыс. у.е. Согласно заключенному кредитному договору банком были удержаны комиссионные в размере 1,2% от запрашиваемой суммы кредита. Предприниматель обязуется погасить предоставленный кредит за 5 лет равными ежегодными выплатами, причем проценты начисляются в начале каждого полугодия по годовой ставке 14%. Найдите величину ежегодной погасительной выплаты предпринимателя по предоставленному кредиту.

Задача 10

Коммерческая фирма планирует создать специальный фонд в размере 250 тыс. долл. С этой целью в конце каждого полугодия предполагается вносить на депозит в банк по 31 тыс. долл. Найдите срок, необходимый для создания фонда, если на поступившие платежи банк начисляет сложные проценты по полугодиям по ставке 14% годовых. Дробную часть года требуется перевести в дни (округляя до целого числа - в большую сторону), используя временную базу в 365 дней.

ТЕСТ

Задание 1

Вопрос 1. Что называется функцией?

1. число;

2. правило, по которому каждому значению аргумента х в соответствует одно и только одно значение функции у;

3. вектор;

4. матрица;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. В каком случае можно определить обратную функцию?

1. когда каждый элемент имеет единственный прообраз;

2. когда функция постоянна;

3. когда функция не определена;

4. когда функция многозначна;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Какая функция называется ограниченной?

1. обратная;

2. функция f(x) называется ограниченной, если m f(x) M;

3. сложная;

4. функция f(x) называется ограниченной, если f(x)›0;

5. функция f(x) называется ограниченной, если f(x) 0;

Вопрос 4. Какая точка называется предельной точкой множества А?

1. нулевая;

2. т.х0 называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точких0 содержатся точки множества А, отличающиеся от х0;

3. не принадлежащая множеству А;

4. нет правильного ответа;

5. лежащая на границе множества.

Вопрос 5. Может ли существовать предел в точке в том случае, если односторонние пределы не равны?

1. да;

2. иногда;

3. нет;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Задание 2

Вопрос 1. Является ли функция бесконечно малой при ...?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Является ли функция бесконечно большой при ...?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. если х=0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Является ли функция у=sin x бесконечно большой при ...?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Является ли функция у=cos x бесконечно большой при ...?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Является ли функция у=tg x бесконечно большой в т. х0=0?

1. да;

2. иногда;

3. всегда;

4. нет;

5. нет правильного ответа.

Задание 3

Вопрос 1. Является ли произведение бесконечно малой функции на функцию ограниченную, бесконечно малой функцией?

1. нет;

2. да;

3. иногда;

4. не всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. В каком случае бесконечно малые (х) и (х) называются бесконечно малыми одного порядка в точке х0?

1. если они равны;

2. если ;

3. если ;

4. если их пределы равны 0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Сколько видов основных элементарных функций мы изучили?

1. 5;

2. 1;

3. 0;

4. 2;

5. 3.

Вопрос 4. Чему равен предел константы С?

1. 0;

2. е;

3. 1;

4. ;

5. с.

Вопрос 5. Является ли степенная функция непрерывной?

1. нет;

2. да;

3. иногда;

4. при х >1;

5. нет правильного ответа.

Задание 4

Вопрос 1. Приведите формулу первого замечательного предела.

1. ...

2. ...

3. ...

4. уґ=кх+в;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Приведите формулу второго замечательного предела.

1. 0;

2. ...

3. ...

4. ...

5. ...

Вопрос 3. Какие функции называются непрерывными?

1. бесконечно малые;

2. удовлетворяющие условиям: а) f определима в т. х0 в) существует и равен f(x0);

3. бесконечно большие;

4. степенные;

5. тригонометрические.

Вопрос 4. Если f(x0+0)=f(x0-0)=L, но f(x0)L, какой разрыв имеет функция?

1. нет правильного ответа;

2. 2-го рода;

3. устранимый;

4. неустранимый;

5. функция непрерывна.

Вопрос 5. Какой разрыв имеет f(x) в т. х0, если f(x0-0)f(x0+0), и не известно: конечны ли эти пределы?

1. устранимый;

2. неустранимый;

3. функция непрерывна;

4. 1-го рода;

5. 2-го рода.

Задание 5

Вопрос 1. Сформулируйте свойство непрерывности сложной функции.

1. сложная функция непрерывна всегда;

2. если функция u=g(х) непрерывна в точке х0 и функция у=f(u) непрерывна в точке u=g(х0), то сложная функция у=f(g(x)) непрерывна в точке х0.

3. сложная функция, являющаяся композицией непрерывных функций не является непрерывной;

4. сложная функция разрывна;

5. сложная функция является композицией непрерывных функций и имеет устранимый разрыв.

Вопрос 2. Является ли функция у=(1-х2)3 непрерывной?

1. нет;

2. иногда;

3. при х >1;

4. да;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Что такое производная функции?

1. Предел значения этой функции;

2. ...

3. 0;

4. 1;

5. е

Вопрос 4. Какая функция является дифференцируемой в точке х=4 ?

1. ...

2. ln(x-4);

3. имеющая производную в точке х=4 ;

4. непрерывная в точке х=4;

5. нет правильного ответа

Вопрос 5. Какая функция называется дифференцируемой на интервале (а,в)?

1. разрывная в каждой точке интервала;

2. дифференцируемая в каждой точке этого интервала;

3. постоянная;

4. возрастающая;

5. убывающая.

Задание 6

Вопрос 1. Чему равна производная константы у=с?

1. 1;

2. 0;

3. е;

4. ...;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Чему равна производная функции у=х5?

1. 0;

2. 1;

3. е;

4. 5х4;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Чему равна производная у=ех?

1. 0;

2. ех;

3. е;

4. 1;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Чему равна производная у=ln x?

1. ;

2. 0;

3. е;

4. 1;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Чему равна производная у=sin x?

1. 0;

2. cos x;

3. е;

4. 1;

5. нет правильного ответа.

Задание 7

Вопрос 1. Может ли непрерывная функция быть дифференцируемой?

1. нет;

2. да;

3. только в точке х= ;

4. только в точке х=0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Всегда ли непрерывная функция является дифференцируемой?

1. всегда;

2. никогда;

3. не всегда;

4. в точке х=0;

5. в т. х= .

Вопрос 3. Может ли дифференцируемая функция быть непрерывной?

1. нет;

2. да;

3. никогда;

4. в т. х=0;

5. в т. х= ....

Вопрос 4. Всегда ли дифференцируемая функция является непрерывной?

1. не всегда;

2. никогда;

3. нет правильного ответа;

4. в т. х=0;

5. всегда.

Вопрос 5. Найти вторую производную от функции у=sin x.

1. cos x;

2. -sin x;

3. 0;

4. 1;

5. tg x.

Задание 8

Вопрос 1. Как называется главная, линейная часть приращения функции?

1. производная;

2. дифференциал (dу);

3. функция;

4. бесконечно малая;

5. бесконечно большая.

Вопрос 2. Сформулируйте правило Лопиталя.

1. ,если предел правой части существует;

2. ...;

3. ...;

4. нет правильного ответа;

5. ...

Вопрос 3. Какие виды неопределенностей можно раскрыть при помощи правила Лопиталя?

1. {0};

2. ;

3. c x 0;

4. c x ;

5. x .

Вопрос 4. Является ли условие у"=0 в точке, не являющейся граничной точкой области определения дифференцируемой функции у, необходимым условием существования экстремума в этой точке?

1. нет;

2. да;

3. не всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Является ли условие у"=0 в т. х=а достаточным условием существования экстремума?

1. да;

2. нет;

3. не всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Задание 9

Вопрос 1. Какая функция называется функцией двух переменных?

1. f(x);

2. n=f(x,у,z);

3. нет правильного ответа;

4. z=f(x,у);

5. f(x)=const=c.

Вопрос 2. Вычислить предел функции .

1. 0;

2. 29;

3. 1;

4. 5;

5. 2.

Вопрос 3. Вычислить предел функции

1. 0;

2. 1;

3. 16;

4. 18;

5. 20.

Вопрос 4. Какие линии называются линиями разрыва?

1. прямые;

2. состоящие из точек разрыва;

3. параболы;

4. эллипсы;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Найти первую производную по у от функции z=3x+2у.

1. 1;

2. 2;

3. 0;

4. 5;

5. нет правильного ответа.

Задание 10

Вопрос 1. Как называется функция, производная которой равна данной функции?

1. Неявная функции

2. Подынтегральная функция

3. Неопределенный интеграл

4. Первообразная функция

5. Дифференциальное выражение

Вопрос 2. Найдите ошибочное выражение, если ... - одна из первообразных для функции , а С - произвольное постоянное.

Вопрос 3. Какое из выражений является интегралом ?

Вопрос 4. Какое из выражений является интегралом ?

Вопрос 5. Какое из выражений является интегралом ?

Задание 11

Вопрос 1. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле ...?

Вопрос 2. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле ...?

Вопрос 3. Какое из выражений целесообразно принять за u при интегрировании по частям интеграла ...?

Вопрос 4. Какое из выражений целесообразно принять за u при интегрировании по частям интеграла ...?

Вопрос 5. Какое из выражений является интегралом ...?

Задание 12

Вопрос 1. Какое из уравнений является разложением многочлена ... на простейшие действительные множители?

Вопрос 2. Какой из многочленов имеет следующие действительные корни:

простой корень, равный 1;

корень второй кратности, равный (-2);

два сопряженных комплексных корня: i и (-i)?

Вопрос 3. Какая из рациональных дробей является неправильной?

Вопрос 4. Какое из выражений является представлением правильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби?

Вопрос 5. Какое из выражений является разложением рациональной дроби на простейшие, где через обозначены неизвестные действительные числа.

Задание 13

Вопрос 1. Какое из выражений является разложением рациональной дроби на целую часть и простейшие дроби?

Вопрос 2. Найдите интеграл ...

Вопрос 3. Какая подстановка позволяет найти интеграл ...?

Вопрос 4. Найти интеграл ...

Вопрос 5. Какое выражение является иррациональным относительно функций ... и ...?

Задание 14

Вопрос 1. Какой из примеров используется при интегрировании четной степени синуса или косинуса?

1. Понижение подынтегральной функции (вдвое) заменой по тригонометрическим формулам.

2. Отделение одного из множителей и замены его новой переменной.

3. Замена или новой переменной.

4. Разложение на слагаемые по формулам произведения тригонометрических функций.

5. Интегрирование по частям.

Вопрос 2. Какой интеграл не выражается в элементарных функциях?

Вопрос 3. Найти интеграл ...

Вопрос 4. Найти интеграл ...

Вопрос 5. Найти интеграл ...

Задание 15

Вопрос 1. Чему равна площадь фигуры на рисунке?

Вопрос 2. Если задана функция скорости при движении тела от точки А до точки В, что можно узнать интегрированием этой функции по времени?

1. Время движения тела от точки А до точки В

2. Скорость в точке В

3. Ускорение

4. Путь пройденный телом при движении от точки А до точки В

5. Расстояние между точками А и В

Вопрос 3. По какой переменной нужно проинтегрировать функцию силы, чтобы получить работу, совершенную при перемещении тела из точки А в точку В?

1. По пути

2. По времени

3. По скорости

4. По силе

5. По работе

Вопрос 4. Чему равна площадь заштрихованной фигуры?

Вопрос 5. Какое из утверждений верно? Интеграл - это:

1. Функция от х

2. Функция от

3. Функция от и

4. Функция от

5. Число

Задание 16

Вопрос 1. Каков геометрический смысл определенного интеграла от функции в интервале ... в системе декартовых координат?

1. Длина линии в интервале

2. Алгебраическая площадь фигуры, ограниченной линией в интервале

3. Среднее значение функции в интервале

4. Произведение среднего значения функции в интервале на длину интервала

5. Максимальное значение функции в интервале

Вопрос 2. Чему равен интеграл ... для любой непрерывной функции ...:

Вопрос 3. Чему равен интеграл ..., где c, k, m - константы:

Вопрос 4. Какое из утверждений верно для любой непрерывной функции ?

Вопрос 5. Не вычисляя интеграл оценить границы его возможного значения, используя теорему об оценке определенного интеграла.

1. от 1 до

2. от ... до ...

3. от ... до ...

4. от ... до ...

5. от ... до 1

Задание 17

Вопрос 1. Какое из следующих утверждений верно для любой непрерывной функции , если - первообразная от .

Вопрос 2. Вычислить интеграл, используя формулу интегрирования по частям и выбрать правильный ответ

Вопрос 3. Вычислить интеграл, используя правило замены переменных

Вопрос 4. Не производя вычислений, укажите интеграл, равный нулю.

Вопрос 5. Вычислить интеграл

Задание 18

Вопрос 1. Какой из приведенных ниже интегралов является несобственным, если функция - непрерывна?

Вопрос 2. Чему равен интеграл

1. ...

2. Интеграл расходится

3. 0

4. 2

5. ...

Вопрос 3. Чему равен интеграл

1. ...

2. 0

3. ¥

4. p

5. 2p

Вопрос 4. Какое из дифференциальных выражений является полным дифференциалом?

Вопрос 5. Какая из функций является первообразной для дифференциального выражения ...?

ТЕСТЫ

Задание 1

Вопрос 1. Что такое матрица?

1. число;

2. вектор;

3. таблица;

4. функция;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Что означают числа в индексе у элементов матрицы?

1. степень;

2. числа, на которые нужно последовательно умножить элемент;

3. порядок матрицы;

4. номер строки и столбца;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Сколько свойств определителей Вам известно?

1. 0;

2. 5;

3. 1;

4. 2;

5. 3.

Вопрос 4. Что означает запись размер матрицы (2х4)?

1. матрица нулевая;

2. матрица квадратная;

3. матрица имеет две строки и 4 столбца;

4. определитель матрицы равен 24;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Какое из приведенных утверждений верным не является:

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами;

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину;

3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю;

4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0;

5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель изменит свою величину.

Задание 2

Вопрос 1. Что такое минор М11 для матрицы (3х3)?

1. определитель, составленный из элементов матрицы, путем вычеркивания второй стоки и третьего столбца и взятым со знаком минус;

2. определитель, равный нулю;

3. определитель, составленный из элементов матрицы, путем вычеркивания второй стоки и третьего столбца;

4. определитель, составленный из элементов матрицы, путем вычеркивания первой стоки и первого столбца;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Как получить М23?

1. умножить матрицу на два;

2. вычислить определитель матрицы, вычеркнув 1-ю строку и первый столбец;

3. нет правильного ответа;

4. записать определитель, полученный при вычеркивании второй строки и третьего столбца.

5. умножить матрицу на три.

Вопрос 3. Что такое алгебраическое дополнение?

1. Мji;

2. Aiк =(-1)i+к Мiк;

3. определитель матрицы;

4. порядок матрицы;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Отметьте формулу разложения определителя 3-го порядка по второй строке?

1. ∆=а11А11 + а12 А12 +а13А13;

2. ∆=а21А21 + а22 А22 +а23А23;

3. ∆=а21А13 + а22 А23 +а31А33;

4. ∆=а11А23 + а12 А13 +а12А33;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Можно ли разложить определитель четвертого порядка по первой строке?

1. нет;

2. да;

3. иногда;

4. нет правильного ответа;

5. если 1-й элемент не равен 0.

Задание 3

Вопрос 1. Можно ли сложить матрицы А (2х3) и В (2х3)?

1. нет;

2. да;

3. только, если все элементы матрицы В=1;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Можно ли сложить матрицы А(2х3) и В(3х4)?

1. нет;

2. да;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Какая матрица называется квадратной?

1. матрица, у которой число строк равно числу столбцов;

2. симметрическая;

3. матрица, у которой число строк больше числа столбцов;

4. матрица, у которой число строк меньше числа столбцов;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Можно ли умножить матрицу А(2х2) на число С?

1. нет;

2. да;

3. да, при этом определитель увеличится в С раз;

4. нет корректного ответа;

5. да, но только если с=0.

Вопрос 5. Можно ли вычесть матрицу А(2х3) из матрицы В(2х3)?

1. нет;

2. всегда;

3. иногда;

4. если 1-й элемент не равен 0;

5. нет правильного ответа.

Задание 4

Вопрос 1. Что такое нуль - матрица?

1. матрица, все элементы которой - нули;

2. прямоугольная матрица;

3. матрица, на главной диагонали которой находятся нули;

4. единичная матрица;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Можно ли перемножить матрицы А(2х2) и В(2х2)?

1. нет;

2. да;

3. только, если все элементы матрицы А=0;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Можно ли выполнить действие А(3х4) х В(4х2)?

1. да;

2. нет;

3. только, если все элементы матрицы В=1;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Можно ли выполнить действие А(2х3) х В(4х2)?

1. да;

2. нет;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Приведите пример единичной матрицы. Укажите ее порядок.

1. ...

2. или второго порядка;

3. или третьего порядка;

4. или третьего порядка;

5. нет правильного ответа.

Задание 5

Вопрос 1. Изменится ли квадратная матрица А(3х3), если ее умножить на единичную матрицу?

1. да;

2. нет;

3. она станет нулевой;

4. она станет единичной;

5. нет правильного ответа.

Вопрос. 2. Чему равен определитель единичной матрицы?

1. 0;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. 18.

Вопрос 3. Что значит транспонировать матрицу?

1. обнулить;

2. элемент с номером ij поместить на место ji и наоборот;

3. умножить на матрицу Е;

4. элементы с номером ii положить равными нулю;

5. элементы с номером ii положить равными 1.

Вопрос 4. Как обозначаются элементы транспонированной матрицы?

1. вij-1;

2. λ вij;

3. в*ij;

4. 5 вij;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Чему равно произведение АА-1?

1. 0;

2. Е;

3. А+А;

4. А*;

5. нет правильного ответа

Задание 6.

Вопрос 1. Можно ли найти обратную матрицу, для матрицы, имеющей Δ=0?

1. можно;

2. нет;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Что такое матрица системы?

1. нулевая матица;

2. матрица Е;

3. матрица, состоящая из коэффициентов свободных членов;

4. матрица, состоящая из коэффициентов левой части;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Что такое матричное уравнение?

1. равенство вида ах2+вх+с=0;

2. равенство вида АХ=С, где А,Х,С - матрицы;

3. равенство вида у=кх+в;

4. равенство вида 2+18=2;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Можно ли решить систему уравнений матричным способом, если определитель матрицы системы равен нулю?

1. да;

2. нет;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Что такое определитель системы второго порядка?

Задание 7.

Вопрос 1. Когда вектора и коллинеарны?

1. когда ≠ 0;

2. когда

3. скалярное произведение этих векторов равно 0;

4. когда =λ;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Как записать разложение по ортам вектора =АВ, где точки А(3; 5;7) и В(5;9;12)?

Вопрос 3. В каком случае вектора называются линейно независимыми?

1. Если они - коллинеарные;

3. возможно, если хоть один из коэффициентов λ1,...λк ≠ 0;

4. нулевые;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Какое выражение называется линейной комбинацией векторов?

1. в = 0;

3. а = (с,d);

4. а - в = d;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Могут ли четыре вектора на плоскости быть линейно независимы?

1. да;

2. всегда;

3. иногда;

4. нет правильного ответа.

5. нет.

Задание 8

Вопрос 1. Являются ли векторы-орты компланарными?

1. нет;

2. да;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Могут ли четыре вектора в трехмерном пространстве быть линейно независимы?

1. да;

2. нет;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Может ли векторное произведение векторов и лежать в плоскости, образованной этими векторами, если оно не равно нулю?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. нет правильного ответа.

5. всегда.

Вопрос 4. Что изменится в векторном произведении, если изменить порядок перемножаемых векторов?

1. Порядок компонент (координат) вектора-произведения;

2. знаки компонент вектора-произведения;

3. модуль синуса угла между перемножаемыми векторами;

4. длина вектора-результата;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Что Вы можете сказать о координатах векторов и , если они коллинеарны?

1. они равны нулю;

2. их координаты пропорциональны;

3. они положительны;

4. они отрицательны;

5. нет правильного ответа.

Задание 9

Вопрос 1. Смешанное произведение это вектор или скаляр (то есть число)?

1. вектор;

2. матрица;

3. скаляр;

4. 0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Скалярное произведение - это число или вектор?

1. число;

2. вектор;

3. вектор и число;

4. 0;

5. 1;

Вопрос 3. Чему равен модуль (длина) векторного произведения и ?

1. площади параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах;

2. 0;

3. 1;

4. модуля вектора ;

5. 2.

Вопрос 4. Векторное произведение - это число или вектор?

1. число;

2. вектор;

3. вектор и число;

4. 0;

5. 1;

Вопрос 5. Чему равен модуль смешанного произведения векторов ?

1. 0;

2. объему параллелепипеда, построенного на векторах ;

3. 1;

4. объему пирамиды, построенной на векторах ;

5. нет правильного ответа.

Задание 10

Вопрос 1. Укажите уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом?

1. у=кх+ в;

2. х2+у2=5;

3. у-у0=3(х-х0);

4. ...

5. х2 +у=0;

Вопрос 2. Верно ли, что уравнение второй степени задаёт прямую на плоскости ?

1. да;

2. нет;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Укажите уравнение пучка прямых, проходящих через точку (х0, у0).

1. у=кх+в;

2. у-у0 =к (х-х0);

3. ...;

4. 3х=5у+2;

5. нет правильного ответа

Вопрос 4. Укажите общее уравнение прямой на плоскости.

1. у=3х+2;

2. Ах+Ву+С=0;

3. у=2х+3;

4. х2+у2=5;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Укажите уравнение прямой, содержащее координаты двух точек, через которые она проходит.

1. ...;

2. у=кх+в;

3. х2 +2у=0;

4. у=2х+3;

5. нет правильного ответа.

Задание 11

Вопрос 1. Укажите каноническое уравнение прямой на плоскости.

1. х=2;

2. ..., где (m,n) - направляющий вектор;

3. у=2х;

4. у=5;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Укажите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки А(х1у1z1) А(х2у2z2) А(х3у3z3)/

1. ...;

2. Ах+Ву+Сz+D=0;

3. z=5;

4. х+у-z=0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Укажите общее уравнение плоскости в пространстве.

1. 2х2+3у+z+5=0;

2. Ах+Ву+Сz+D=0;

3. Ах+Ву+С=0;

4. Z=0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Укажите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0у0z0) и имеющей направляющий вектор L(Lx,Lу,Lz).

1. у=х -L;

2. ...;

3. ...;

4. х - Lx +y - Lу +z - Lz =0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Являются ли плоскости 2х+3у+7z+5=0 и 10х+15у+7z+5=0 параллельными?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. только при определенных значениях переменных;

5. нет правильного ответа.

Задание 12

Вопрос 1. Отметьте каноническое уравнение окружности.

1. у=кх+в;

2. у=const=C;

3. у=5;

4. (х-х0)2+(у-у0)2=R2;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Укажите каноническое уравнение эллипса.

1. у2+2х+у0=0;

2. (х-х0)(у-у0)=0;

3. ...;

4. нет правильного ответа;

5. ...

Вопрос 3. Укажите каноническое уравнение гиперболы.

1. ...;

2. у=2х;

3. (у-у0)2= (х-х0) 2;

4. у=0;

5. нет правильного ответа

Вопрос 4. Укажите каноническое уравнение параболы с директрисой, перпендикулярной Ох.

1. у=3х+5;

2. (у-у0)2=2p(х-х0);

3. у=5;

4. все ответы верны;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Какие прямые являются асимптотами гиперболы?

1. ...;

2. у=Z;

3. у=5;

4. х=2;

5. нет правильного ответа.

Задание 13

Вопрос 1. В каком случае можно определить обратную функцию?

1. когда каждый элемент имеет единственный прообраз;

2. когда функция постоянна;

3. когда функция не определена;

4. когда функция многозначна;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Что называется функцией?

1. число;

2. правило, по которому каждому значению аргумента х соответствует одно и только одно значение функции у;

3. вектор;

4. матрица;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Какая функция называется ограниченной?

1. обратная;

2. функция f(x) называется ограниченной, если m ≤ f(x) ≤ M;

3. сложная;

4. функция f(x) называется ограниченной, если f(x) › 0;

5. функция f(x) называется ограниченной, если f(x) ≤ 0;

Вопрос 4. Какая точка называется предельной точкой множества А?

1. нулевая;

2. т.х0 называется предельной точкой множества А, если в любой окрестности точких0 содержатся точки множества А, отличающиеся от х0;

3. не принадлежащая множеству А;

4. нет правильного ответа;

5. лежащая на границе множества.

Вопрос 5. Может ли существовать предел в точке в том случае, если односторонние пределы не равны?

1. да;

2. иногда;

3. нет;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Задание 14

Вопрос 1. Является ли функция бесконечно малой при х→∞?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Является ли функция бесконечно большой при х→∞?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. если х=0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Является ли функция у=sinx бесконечно большой при х→∞?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Является ли функция у=cos x бесконечно большой при х→∞?

1. да;

2. нет;

3. иногда;

4. всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Является ли функция у=tgx бесконечно большой в т. х0=0?

1. да;

2. нет;

3. всегда;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Задание 15

Вопрос 1. Является ли произведение бесконечно малой в точке х0 функции на функцию ограниченную, бесконечно малой в точке х0?

1. нет;

2. да;

3. иногда;

4. не всегда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. В каком случае бесконечно малые α (х) и β(х) называются бесконечно малыми одного порядка в точке х0?

1. если они равны;

2. если ;

3. если ;

4. если их пределы равны 0;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Чему равен предел константы С?

1. 0;

2. Е;

3. 1;

4. ∞;

5. с.

Вопрос 4. Сколько видов основных элементарных функций мы изучили?

1. 5;

2. 1;

3. 0;

4. 2;

5. 3.

Вопрос 5. Является ли степенная функция непрерывной на всей области определения?

1. нет;

2. да;

3. иногда;

4. при х >1;

5. нет правильного ответа.

Задание 16

Вопрос 1. Укажите формулу первого замечательного предела.

1. ...

2. ...

3. ...

4. у´=кх+в;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Укажите формулу второго замечательного предела.

1. 0;

2. ...

3. ...

4. ...

5. ...

Вопрос 3. Если f(x0+0)=f(x0-0)=L, но f(x0) ≠ L, какой разрыв имеет функция?

1. нет правильного ответа;

2. 2-го рода;

3. устранимый;

4. неустранимый;

5. функция непрерывна.

Вопрос 4. Какие функции называются непрерывными?

1. бесконечно малые;

2. удовлетворяющие условиям: а) f определима в т. х0 б) существует f(x0);и равен

3. бесконечно большие;

4. степенные;

5. тригонометрические.

Вопрос 5. Какой разрыв имеет f(x) в т. х0, если f(x0-0)≠ f(x0+0), и не известно: конечны ли эти пределы?

1. устранимый;

2. неустранимый;

3. функция непрерывна;

4. 1-го рода;

5. 2-го рода.

Задание 17

Вопрос 1. Сформулируйте свойство непрерывности сложной функции.

1. сложная функция непрерывна всегда;

2. если функция u=g(х) непрерывна в точке х0 и функция у=f(u) непрерывна в точке u=g(х0), то сложная функция у=f(g(x)) непрерывна в точке х0.

3. сложная функция, являющаяся композицией непрерывных функций не является непрерывной;

4. сложная функция разрывна;

5. сложная функция является композицией непрерывных функций и имеет устранимый разрыв.

Вопрос 2. Является ли функция у=(1-х2)3 непрерывной на множестве всех чисел?

1. нет;

2. да;

3. при х >1;

4. иногда;

5. нет правильного ответа.

Вопрос3. Что такое производная функции?

1. Предел значения этой функции;

2. ...

3. 0;

4. 1;

5. е.

Вопрос 4. Какая функция является дифференцируемой в точке х=4 ?

1. ...

2. ln(x-4);

3. имеющая производную в точке х=4 ;

4. непрерывная в точке х=4;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Какая функция называется дифференцируемой на интервале (а,в)?

1. дифференцируемая в каждой точке этого интервала;

2. разрывная в каждой точке интервала;

3. постоянная;

4. возрастающая;

5. убывающая.

Задание 18

Вопрос 1. Чему равна производная функции у=х5?

1. 0;

2. 1;

3. е;

4. 5х4;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 2. Найти вторую производную от функции у=sinx.

1. cos x;

2. -sin x;

3. tg x;

4. 1;

5. 0.

Вопрос 3. Как называется главная, линейная часть приращения функции?

1. производная;

2. дифференциал (dу);

3. функция;

4. бесконечно малая;

5. бесконечно большая.

Вопрос 4. Какие виды неопределенностей можно раскрыть при помощи правила Лопиталя?

1. ...;

2. ∞ - ∞;

3. 00;

4. ∞0;

5. С х 0.

Вопрос 5. Сформулируйте правило Лопиталя.

1. ...;

2. ... , если предел правой части существует;

3. ...;

4. нет правильного ответа;

5. ...

Задание 19

Вопрос 1. Функция f(x) - непрерывная и дифференцируемая в точке х0. Является ли х0 точкой максимума, если:

1. f(x) > f(x0) для всех x из некоторой окрестности х0;

2. f(x) < f(x0) для всех x из некоторой окрестности х0;

3. f "(x0) = 0;

4. f "(x0) = 0;

5. f "(x) при переходе через x0 меняет знак с - на +.

Вопрос 2. Функция f(x) - непрерывная и дифференцируемая в точке х0. Является ли х0 точкой перегиба, если:

1. f "(x0) = 0;

2. f "(x0) = 0;

3. f "(x) при переходе через x0 не меняет знак;

4. f "(x) при переходе через x0 меняет знак;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 3. Найдите промежутки возрастания функции y = x3 - 2x2 - 15x - 10.

1. (- 5/3; 3);

2. (- ∞ ; - 5/3) U (3; + ∞);

3. (- ∞ ; - 3) U (5/3; + ∞);

4. (- 3; 5/3);

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. Сколько точек перегиба у графика функции y = (x1/2+ 3) 2 ?

1. 3;

2. бесконечно много;

3. 1;

4. 2;

5. ни одной.

Вопрос 5. Найти вертикальную асимптоту функции

1. x = 1;

2. x = -1;

3. x = 4;

4. x = -4;

5. нет асимптот.

Задание 20

Вопрос 1. Какая функция называется функцией двух переменных?

1. f(x);

2. z=f(x,у);

3. нет правильного ответа;

4. n=f(x,у,z);

5. f(x)=const=c.

Вопрос 2. Вычислить предел функции .

1. 0;

2. 29;

3. 1;

4. 5;

5. 2.

Вопрос 3. Вычислить предел функции

1. 1;

2. 0;

3. 16;

4. 18;

5. 20.

Вопрос 4. Какие линии называются линиями разрыва?

1. прямые;

2. состоящие из точек разрыва;

3. параболы;

4. эллипсы;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. Найти первую производную по у от функции z=3x+2у.

1. 3;

2. 2;

3. 0;

4. 5;

5. нет правильного ответа.

Задание 21

Вопрос 1. Во сколько этапов проходит процесс выбора решений в исследовании операций?

1. 2;

2. 4;

3. 5;

4. 1;

5. 3.

Вопрос 2. Какой метод не относится к методу решения задач линейного программирования?

1. Симплексный;

2. Комбинированный;

3. Модифицированный симплексный;

4. Графический;

5. Нет правильного ответа.

Вопрос 3. В каком виде должны быть представлены ограничения в общей задаче для решения ее графическим методом?

1. уравнение;

2. неравенства;

3. уравнения и неравенства;

4. тождества;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 4. В каком виде должны быть представлены ограничения в общей задаче для решения ее симплексным методом?

1. неравенство;

2. уравнения и неравенства;

3. уравнения;

4. тождества;

5. нет правильного ответа.

Вопрос 5. На чем основан графический метод решения задач математического программирования?

1. Построения графика целевой функции и нахождение ее наибольшего или наименьшего значения;

2. Построения графиков условий ограничений и нахождения многоугольника решений;

3. нахождение точек пересечения целевой функции с условиями ограничений;

4. исследование целевой функции на экстремум;

5. нет правильного ответа.

СЕМИНАРЫ

Задание 1.

Вопрос 1. Какой метод использует Евклид в своих «Началах»?

1. Дедуктивный

2. Индуктивный

3. Интуитивный

Вопрос 2. Какими уравнениями описываются плоскости в трехмерном пространстве?

1. Линейными уравнениями

2. Квадратными уравнениями

3. Уравнениями третьего порядка

Вопрос 3. Какими уравнениями описываются плоскости в n-мерном пространстве?

1. уравнениями n-го порядка

2. уравнениями 2-го порядка

3. Линейными уравнениями

Вопрос 4. Какой ученый внес большой вклад в развитие теории множеств в конце XIX века?

1. Пуанкаре

2. Кантор

3. Лейбниц

Вопрос 5. Что является предметом вариационного исчисления?

1. Отыскание функций по их производным

2. Отыскание неизвестных функций, определенных условиями минимума или максимума некоторых связанных с ними величин

3. Вопросы перевода геометрии на язык алгебры

Вопрос 6. Какой раздел математики связан с перенесением векторных и тензорных представлений на бесконечномерные величины?

1. Функциональный анализ

2. Аналитическая геометрия

3. Проективная геометрия

Вопрос 7. Какие из перечисленных ниже чисел можно назвать более древними?

1. Отрицательные числа

2. Мнимые числа

3. Дроби

Вопрос 8. Кто первым ввел геометрическое представление комплексных чисел?

1. Гамильтон

2. Вессель

3. Эйлер

Вопрос 9. В чем заключается геометрическое представление триплетов?

1. Триплет - это три точки на одной прямой

2. Триплет - это точка трехмерного пространства

3. Триплет - это три вершины некоего треугольника

Вопрос 10. В каком случае следует использовать математическую статистику и теорию вероятностей?

1. При расчете показателей по функциональным зависимостям

2. При принятии решений условиях полной определенности

3. При принятии решений в условиях неопределенности

Вопрос 11. В чем состоит одно из главных преимуществ экономических моделей?

1. С их помощью можно выявить результаты любых сделанных предположений

2. При их использовании не нужно учитывать проблему адекватности моделирования

3. Результаты моделирования слабо зависят от сделанных предположений

Вопрос 12. Если все потоки какой-либо экономической системы свести в одну матрицу, и она будет иметь слишком большую для проведения расчетов размерность, то каким способом целесообразно решать эту проблему?

1. Объединить потоки в укрупненные группы

2. Просчитывать эту модель по частям (отдельно для каждого конкретного потока)

3. Признать эту проблему неразрешимой.

Задание 2.

Вопрос 1. Когда и где геометрия оформилась как наука?

1. В Древнем Египте к XVIII веку до н.э.

2. В Древней Греции в VII - V веках до н.э.

3. В Древнем Риме в I веке н.э.

Вопрос 2. Какое понятие первым определяется в «Началах» Евклида?

1. Длина

2. Ноль

3. Точка

Вопрос 3. Что принято называть обоснованием геометрии?

1. Перечисление определений и аксиом, достаточных для доказательства всех последующих за ними теорем геометрии

2. Набор понятий, достаточный для того, чтобы сформулировать любую геометрическую задачу

3. Метод строгой дедукции, отправляющийся от аксиом

Вопрос 4. Что с точки зрения современной математики является неудовлетворительным в «Началах» Евклида?

1. Некоторые из определений Евклида принципиально неверны

2. Данные Евклидом определения являются приближенными и используют понятия, которые сами нуждаются в определении

3. Порядок изложения теорем не соответствует современному аксиоматическому методу

Вопрос 5. Чем смущала многих ученых аксиома Евклида о параллельных прямых?

1. Она в дальнейшем не используется для доказательства теорем

2. Такие аксиомы не поддаются проверке опытом

3. Формулировка этой аксиомы настолько туманна, что ее невозможно использовать

Вопрос 6. Кто первым решил «проблему» V постулата Евклида?

1. Лежандр

2. Риман

3. Лобачевский

Вопрос 7. Сколько групп аксиом лежит в основе планиметрии Лобачевского?

1. 5

2. 3

3. 1

Вопрос 8. Что говорится о подобии и равенстве треугольников в геометрии Лобачевского?

1. Все треугольники на плоскости Лобачевского подобны

2. У равных треугольников на плоскости Лобачевского могут быть неравные углы

3. На плоскости Лобачевского нет подобных, но не равных треугольников

Вопрос 9. Какие две прямые называются расходящимися в геометрии Лобачевского?

1. две прямые называются расходящимися, если они не пересекаются и не параллельны

2. две прямые называются расходящимися, если они имеют более чем один общий перпендикуляр

3. две прямые называются расходящимися, если при пересечении с третьей образуют неравные накрест лежащие или соответствующие углы

Вопрос 10. Что называется расстоянием между двумя точками, взятыми на поверхности Земли, в евклидовой геометрии?

1. Расстояние по поверхности Земли (длина дуги большого круга, проходящего через эти точки)

2. Длина прямолинейного отрезка, соединяющего эти точки под землей

3. Такое понятие в геометрии Евклида не определяется

Вопрос 11. С чьим именем связана геометрия для изменяющихся конфигураций?

1. Лобачевский

2. Риман

3. Гаусс

Вопрос 12. Если две прямые в геометрии Лобачевского перпендикулярны третьей прямой, какое из следующих утверждений верно?

1. Эти прямые параллельны

2. Эти прямые пересекаются

3. Эти прямые расходятся

Задание 3.

Вопрос 1. Какие понятия называются основными в современном аксиоматическом методе построения геометрии?

1. Понятия, которые не определяются путем сведения их к другим понятиям и через которые все остальные понятия должны быть определены

2. Понятия, которые обязательно присутствуют в формулировке любой аксиомы

3. Понятия, для определения которых используется не более одного ранее введенного понятия

Вопрос 2. Из какой аксиомы непосредственно следует утверждение: две прямые имеют не более одной общей точки?

1. Всякая прямая содержит, по крайней мере, две точки

2. Существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой

3. Через всякие две точки проходит прямая притом только одна

Вопрос 3. Что понимается под непротиворечивостью теории?

1. Отсутствие в теории двух утверждений, логически отрицающих друг друга

2. Достаточность набора аксиом для доказательства любой теоремы

3. Возможность доказательства любой аксиомы на основании предыдущих

Вопрос 4. Сколько основных понятий в аксиоматике планиметрии Лобачевского?

1. 3

2. 4

3. 5

Вопрос 5. Как решается вопрос о непротиворечивости системы аксиом планиметрии Лобачевского с помощью модели Пуанкаре?

1. Планиметрия Лобачевского непротиворечива постольку, поскольку непротиворечива планиметрия Евклида

2. Планиметрия Лобачевского абсолютно непротиворечива

3. Планиметрия Лобачевского противоречива при определенных условиях

Вопрос 6. Почему многие задачи геометрии Лобачевского проще решать в модели Пуанкаре?

1. Потому что эта модель не вводит никаких новых определений

2. Потому что эта модель построена на основе геометрии Евклида

3. Потому что эта модель позволяет уменьшить количество основных понятий

Вопрос 7. Какая система аксиом называется минимальной?

1. Система аксиом называется минимальной, если ни одна ее аксиома не является следствием остальных аксиом

2. Система аксиом называется минимальной, если в нее входит меньше трех аксиом

3. Система аксиом называется минимальной, если все ее аксиомы не являются независимыми

Вопрос 8. Для чего используется арифметическая модель планиметрии Евклида?

1. Для определения степени непротиворечивости планиметрии Евклида

2. Для доказательства непротиворечивости арифметики

3. Чтобы вывести вопрос о непротиворечивости планиметрии Евклида за рамки геометрии

Вопрос 9. Что пишется под знаком интеграла?

1. Производная от искомой функции

2. Первообразная искомой функции

3. Дифференциал искомой функции

Вопрос 10. В чем состоит геометрический смысл производной от функции f(x)?

1. Это тангенс угла наклона касательной к кривой y = f(x)

2. Это угол наклона касательной к кривой y = f(x)

3. Это синус угла наклона касательной к кривой y = f(x)

Вопрос 11. Какая функция имеет первообразную на некотором сегменте?

1. Любая функция

2. Любая непрерывная на данном сегменте функция

3. Только непрерывная и дифференцируемая на данном сегменте функция

Вопрос 12. Какое из следующих утверждений неверно?

1. Производная от любой элементарной функции есть функция элементарная

2. Первообразная любой элементарной функции есть функция элементарная

3. Существуют такие элементарные функции, первообразные которых не являются элементарными функциями

Задание 4.

Вопрос 1. Какие ограничения накладываются на функцию, связывающую новую и старую переменные, при использовании метода замены переменной?

1. Это может быть любая непрерывная функция

2. Это должна быть непрерывная, строго монотонная функция, имеющая непрерывную производную

3. Это должна быть непрерывная функция, имеющая непрерывную производную

Вопрос 2. Какая формула называется формулой замены переменной?

1. ∫ f (x)dx = ∫ f [φ(z)]dz

2. ∫ f (x)dx = ∫ f [φ(z)] φ"(z)dz

3. ∫ f (x)dx = ∫ f [ φ"(z)]φ(z)dz

Вопрос 3. Что дает использование формулы интегрирования по частям?

1. Позволяет свести вычисление интеграла ∫ udv к вычислению интеграла ∫ vdu

2. Позволяет вообще избавиться от вычисления интеграла

3. Позволяет перейти к другим переменным

Вопрос 4. При вычислении какого из следующих интегралов, следует применять формулу интегрирования по частям, принимая за u многочлен P(x)?

1. ∫ P(x)ln xdx

2. ..., где Q(x) - тоже многочлен

3. ∫ P(x)eaxdx

Вопрос 5. Сколько различных корней (m) имеет многочлен степени n?

1. m ≤ n

2. m = n

3. m ≥ n

Вопрос 6. В каком случае рациональная дробь является правильной?

1. если m = n

2. если m>n

3. если m ≥ n

Вопрос 7. Сколько различают типов простейших рациональных дробей?

1. 2

2. 3

3. 4

Вопрос 8. В каком случае квадратный трехчлен x2 + px + q не имеет действительных корней?

1. Если p 2 -q < 0

2. Если

3. Если

Вопрос 9. Какой метод применяется для разложения правильной рациональной дроби на простейшие?

1. Метод замены переменных

2. Правило Лопиталя

3. Метод неопределенных коэффициентов

Вопрос 10. Когда для разложения правильной рациональной дроби целесообразно применять метод произвольных значений?

1. Когда степень знаменателя этой дроби больше степени числителя на единицу

2. Когда знаменатель этой дроби имеет только действительные корни

3. Когда степень числителя этой дроби не больше двух

Вопрос 11. Какой из следующих интегралов не является тригонометрическим?

1. ...

2. ...

3. ∫ R(sinx, cosx)dx, где R- рациональная функция своих аргументов sin x и cos. x

Вопрос 12. Что такое интегральный синус six?

1. Любая первообразная от функции

2. Первообразная от функции , обращающаяся в ноль при x = 0

3. Функция, для которой (six)" = sinx

Задание 5.

Вопрос 1. Зависит ли для непрерывной функции предел n-ной интегральной суммы, соответствующей конечному интервалу [a,b], от способа разбиения интервала [a,b], на частичные интервалы при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала?

1. Да

2. Нет

3. Да при определенных условиях

Вопрос 2. Чем определенный интеграл отличается от неопределенного интеграла?

1. Неопределенный интеграл - это семейство функций, а определенный интеграл - это число

2. Неопределенный интеграл берется на всей числовой оси, а определенный интеграл - на некотором интервале [a,b]

3. Неопределенный интеграл - это семейство функций, а определенный интеграл - это одна функция

Вопрос 3. Какое из следующих утверждений неверно?

..., если:

1. a = b

2. f(x) = const на всем интервале [a,b]

3. F(a) = F(b), где F(x) - первообразная для функции f(x)

Вопрос 4. Для какого случая справедливо равенство ?

1. Только, если a ≤ c ≤ b

2. Только, если a< c< b

3. При любом взаимном расположении точек a, b и c на числовой оси

Вопрос 5. Какое из приведенных ниже выражений соответствует теореме об оценке определенного интеграла при условии, что a < b, и m ≤ f(x) ≤ Mв интервале [a,b]?

Вопрос 6. Какое из следующих утверждений верно?

1. Если в каждой точке x интервала [a,b] φ(x) ≤f(x) ≤ ψ(x), то во всем интервале [a,b] φ"(x) ≤ f"(x) ≤ ψ"(x)

2. Если в каждой точке x интервала [a,b] φ(x) ≤f(x)≤ψ(x),то

3. Справедливы оба утверждения: 1 и 2

Вопрос 7. Что называется средним арифметическим значением (yср.) непрерывной функции y = f(x) в интервале [a,b]?

1. ..., где M и m - соответственно максимальное и минимальное значения функции f(x) в интервале [a,b]

2. ..., где M и m - соответственно максимальное и минимальное значения функции f(x) в интервале [a,b]

Вопрос 8. Какое из следующих утверждений верно? Если , то

Вопрос 9. Чему равна производная от интеграла по его верхнему пределу?

1. Подынтегральной функции

2. Производной от подынтегральной функции

3. Первообразной от подынтегральной функции

Вопрос 10. Какое из приведенных ниже выражений называется формулой Ньютона-Лейбница?

1. ..., где

Вопрос 11. Какой из следующих несобственных интегралов является расходящимся?

Вопрос 12. Какое из следующих тождеств является необходимым и достаточным условием того, чтобы выражение Pdx + Qdy было полным дифференциалом?

1. ...

2. ...

3. dPdy ≡ dQdx

Задание 6.

Вопрос 1. Является ли уравнение y"= f(x) дифференциальным уравнением?

1. Нет

2. Да

3. Только при определенных условиях

Вопрос 2. Какое уравнение называется дифференциальным уравнением первого порядка?

1. Уравнение, связывающее независимую переменную, неизвестную функцию и ее производную

2. Уравнение, связывающее неизвестную функцию и ее производную, только при условии, что функция входит в уравнение в первой степени

3. Уравнение, связывающее неизвестную функцию и ее производную, только при условии, что производная входит в уравнение в первой степени

Вопрос 3. Какие дифференциальные уравнения называются обыкновенными?

1. Уравнения, записанные в дифференциальной форме

2. Уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одного аргумента

3. Уравнения в частных производных

Вопрос 4. Если y = φ(x,C) - общее решение дифференциального уравнения, какое из следующих утверждений верно?

1. С - любое целое число

2. С - любое положительное число

3. С - любое число

Вопрос 5. Какое из следующих выражений соответствует заданию начальных условий дифференциального уравнения первого порядка?

1. y"(0) = 0

2. y|x=x0 = y0

3. y|x=0 = y0 (x)

Вопрос 6. Что называется задачей Коши?

1. Задача отыскания общего решения дифференциального уравнения

2. Задача отыскания решения дифференциального уравнения геометрическим методом

3. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения по начальным условиям

Вопрос 7. Что называется интегралом уравнения?

1. Решение дифференциального уравнения в неявном виде (φ(x, y ) = 0 )

2. Процесс решения (интегрирования) дифференциального уравнения

3. Любое частное решение дифференциального уравнения

Вопрос 8. Какое из приведенных ниже выражений является частным решением уравнения с разделенными переменными f1(y)dy = f2(x)dx, если задано начальное условие, согласно которому y(x0) = y0?

1. ...

2. ...

3. ..., где С - произвольное число

Вопрос 9. Какие дифференциальные уравнения первого порядка называются однородными?

1. Уравнения, переменные в которых разделены

2. Уравнения вида y"= f(x,y), если функция f(x,y) может быть представлена как функция отношения своих аргументов:

3. Уравнения вида y"= f(x,y), если функция f(x,y) может быть представлена как функция суммы своих аргументов: f(x,y) = φ(x+y)

Вопрос 10. Какая вспомогательная подстановка позволяет свести однородное дифференциальное уравнение первого порядка к уравнению с разделяющимися переменными?

1. t = y"

2. u = x + v

3. ...

Вопрос 11. Какие дифференциальные уравнения называются линейными?

1. Уравнения, линейные относительно неизвестной функции и ее производной

2. Уравнения, линейные относительно независимой переменной

3. Уравнения, решением которых могут быть только линейные функции

Вопрос 12. Какой прием позволяет свести линейное дифференциальное уравнение первого порядка к двум уравнениям с разделяющимися переменными?

1. y = uv

2. y = uv

3. y = u+ v

Задание 7.

Вопрос 1. Что называется изоклиной уравнения?

1. Геометрическое место точек с одинаковым направлением поля ( y" = const)

2. Геометрическое место точек, равноудаленных от линии, соответствующей искомой функции

3. Геометрическое место точек, равноудаленных от осей Ox и Oy

Вопрос 2. Что можно получить в результате применения графического метода Эйлера для отыскания частного решения уравнения y" = f(x,y) с начальным условием y|x-x0 = yo?

1. Семейство интегральных кривых, проходящих через точку (x0 ,y0)

2. Ломаную линию, приближенно представляющую интегральную кривую, проходящую через точку (x0, y0)

3. Интегральную кривую, стремящуюся в пределе к точке (x0 ,y0)

Вопрос 3. Какое из приведенных ниже уравнений не является дифференциальным уравнением 5-го порядка?

1. F(x, y, y(3), y(5) ) = 0

2. φ(x, y, (y")5) = 0

3. y(5) = f(x,y",...,y(4)) = 0

Вопрос 4. Как выглядят начальные условия для отыскания частного решения дифференциального уравнения 3-го порядка?

1. y|x=x0 = y0, y΄|x=x0 =y"0 , y΄΄|x=x0 = y΄΄0

2. y|x=x0 = y0, y΄|x=x0 =y΄0 , y΄΄|x=x0 = y΄΄0, y΄΄΄|x=x0 = y΄΄΄0

3. y΄|x=x0 = y΄0, y΄΄|x=x0 =y΄΄0 , y΄΄΄|x=x0 = y΄΄΄0

Вопрос 5. Каков геометрический смысл начальных условий дифференциального уравнения 2-го порядка?

1. Начальные условия определяют две точки, через которые проходит интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению

2. Начальные условия задают одну точку, через которую проходит интегральная кривая, соответствующая искомому частному решению

3. Начальные условия задают точку, через которую проходит искомая интегральная кривая, и тангенс угла наклона касательной к этой кривой в заданной точке

Вопрос 6. Какая подстановка упрощает решение дифференциального уравнения второго порядка, если правая часть уравнения не содержит y, т.е. уравнение имеет вид y" = f(x,y")?

1. y" = z

2. ...

3. u = xy

Вопрос 7. Какой прием позволяет свести дифференциальное уравнение второго порядка y" = f(y,y") с правой частью, не содержащей x, к дифференциальному уравнению первого порядка?

1. Разбиение y на две функции: y = uv

2. Запись уравнения в дифференциальной форме

3. Замена: y" = p, где p = φ(y)

Вопрос 8. К какому дифференциальному уравнению приводит задача о нахождении формы гибкой нерастяжимой, однородной нити, прикрепленной за два конца?

1. К однородному дифференциальному уравнению первого порядка

2. К уравнению с разделяющимися переменными

3. К дифференциальному уравнению второго порядка с правой частью, не содержащей y

Вопрос 9. Какое из следующих уравнений описывает движение материальной точки массы m под действием силы F?

Вопрос 10. К какому выводу о скорости материальной точки приводит решение задачи о движении точки в среде с сопротивлением при Fc= - kv и Fc= - kv2 , где Fc- сила сопротивления среды, v- скорость материальной точки, k- коэффициент пропорциональности?

1. Скорость стремится к определенному пределу

2. Скорость неограниченно возрастает

3. Скорость стремится к конечному пределу только, если сопротивление среды пропорционально квадрату скорости

Вопрос 11. Какой вид имеет дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной?

1. y(n) = f(x, y, y" ,..., y(n-1))

2. φ(x, y, y" ,...,y(n-1),y(n)) = 0

3. f(x,y(n)) = φ(y,y" ,...,y(n-1))

Вопрос 12. Какой вид имеет общее решение уравнения y(n) = ex?

1. y = ex

2. y = ex +C1x(n-1) +C2x(n-2) +... + Cn-1x+Cn

3. e = ex + C1 + C2 + ... + Cn-1 + Cn

Задание 8.

Вопрос 1. Какие точки применительно к линейным дифференциальным уравнениям называются особыми?

1. Точки, заданные в виде начальных условий

2. Точки, в которых коэффициент при старшей производной обращается в ноль

3. Точки, в которых обращается в ноль правая часть уравнения

Вопрос 2. Какие линейные дифференциальные уравнения второго порядка (a1y" + a2y" + a3y = f(x)) называются однородными?

1. Уравнения, в которых правая часть тождественно равна нолю (f(x) ≡ 0)

2. Уравнения, в которых коэффициент при второй производной равен единице (a1 = 1)

3. Уравнения, в которых коэффициенты a1,a2,a3 являются многочленами одного порядка

Вопрос 3. Какое условие является обязательным, для того, чтобы функция y(x) =c1y1(x) + c2y2(x), где y1(x) и y2(x)- решения линейного уравнения y"+ a1y"+ a2y = 0, также являлась решением этого уравнения?

1. c1 = c2

2. c1 и c2 - любые постоянные числа

3. c1y2(x) = c2y1(x)

Вопрос 4. Какое условие является обязательным, для того, чтобы функция y(x) = c1y1(x) + c2y2(x), где y1(x) и y2(x) - решения линейного уравнения y"+ a1y"+ a2y = 0, являлась общим решением этого уравнения?

1. c1 и c2 - любые постоянные числа

2. c1 ≠ c2

3. y2 ≠ cy1, где с - произвольная константа

Вопрос 5. При каких начальных условиях частным решением уравнения y" + a1y" + a2y =0 будет функция y = 0?

1. ...,

2. y0 = 0 , y" = a2 - a1

3. y0 = 0 , y" = 0 ,

Вопрос 6. Какое из следующих утверждений относительно уравнения y" + a1y" + a2y = f(x) верно?

1. Общее решение соответствующего уравнения без правой части будет являться частным решением данного уравнения

2. Общим решением данного уравнения будет сумма общего решения соответствующего уравнения без правой части и какого-нибудь частного решения данного уравнения

3. Сумма частных решений данного уравнения и соответствующего уравнения без правой части будет являться общим решением соответствующего уравнения

Вопрос 7. Какой вид имеет характеристическое уравнение, соответствующее дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами: y" + a1y" + a2y = f (x)

1. r2+ a1r + a2 = 0

2. ...

3. a1a2r2 + a1r +a2 =0

Вопрос 8. Пусть дано уравнение y" + a1y" + a2y = 0, где а1 и а2 - действительные числа; r1 и r2 - корни соответствующего характеристического уравнения. Какое из следующих утверждений неверно?

1. Если r1 и r2 - действительные и различные числа, то общее решение данного уравнения имеет вид: y = c1er1x + c2er2x , где с1 и с2 - произвольные постоянные

2. Если r1 и r2 - действительные и равные числа, то общее решение данного уравнения имеет вид: y = (c1 + c2)er2x, где с1 и с2 - произвольные постоянные

3. Если r1 и r2 - комплексные сопряженные числа (r1= a + βi,r2 = a - βi , β ≠ 0), то общее решение данного уравнения имеет вид: y = eax(c1 cosβx - c2 sin βx), , где с1 и с2 - произвольные постоянные

Вопрос 9. Какой вид имеет частное решение уравнения y" + a1y" + a2y = P(x)emx, где Р(х) - многочлен?

1. y = xkQ(x)emx, где Q(x) - многочлен той же степени, что и Р(х)

2. y = xkQ(x)emx, где Q(x) - произвольный многочлен

3. y = xkQ(x), где Q(x) - многочлен той же степени, что и Р(х)

Вопрос 10. В каком случае частное решение уравнения y" + a1y" + a2y = acosnx + bsinnx имеет вид: y = Acosnx +Bcinnx?

1. Если числа ± in служат корнями характеристического уравнения

2. Если числа ± in не являются корнями характеристического уравнения

3. Только, если a ≠ 0,b≠ 0

Вопрос 11. Какой метод используется для отыскания частного решения линейного уравнения y" + a1y" + a2y = f(x) f(x), где f(x) - любая функция?

1. Метод разделения переменных

2. Метод замены переменной

3. Метод вариации произвольных постоянных

Вопрос 12. В каком случае система функций φ1(x),φ2(x),φ3(x) называется линейно зависимой?

1. Если φ2 (x) = n φ1(x) + m φ3(x), где n,m - постоянные величины

2. Если

3. Если

Задание 9.

Вопрос 1. В каком случае колебание называется собственным?

1. Когда сила сопротивления равна нулю

2. Когда внешняя возмущающая сила равна нулю

3. Когда внешняя возмущающая сила постоянна

Вопрос 2. Какая из следующих сил обозначена в уравнении , описывающем механические колебания как f(t)?

1. Внешняя возмущающая сила

2. Сила сопротивления среды

3. Восстанавливающая сила

Вопрос 3. Какое уравнение описывает затухающие гармонические колебания?

1. s = Ae -δt

2. s = Ae -kt sin (ωt + φ)

3. s = Asin(ωt + φ)

Вопрос 4. Что такое резонанс?

1. Явление, заключающееся в изменении частоты собственных колебаний системы под воздействием внешних возмущений

2. Явление, заключающееся в резком возрастании амплитуды колебаний системы под влиянием внешних воздействий

3. Явление, заключающееся в резком затухании колебаний системы при отсутствии внешних воздействий

Вопрос 5. При каких условиях уравнение, описывающее течение тока в электрическом контуре будет однородным?

1. Если сопротивление равно нулю (R = 0 )

2. Если , где R,C,L - соответственно сопротивление, емкость и индуктивность электрической цепи

3. Если внешняя электродвижущая сила постоянна

Вопрос 6. Как называется система дифференциальных уравнений вида

y1 ‘ = f1(x,y1,y2,...,yn)

y2 ‘ = f2(x,y1,y2,...,yn)

yn‘ = fn(x,y1,y2,...,yn)?

1. Стандартной

2. Нормальной

3. Обыкновенной

Вопрос 7. К системе из скольких дифференциальных уравнений первого порядка можно свести дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной?

1. n

2. n + 1

3. n - 1

Вопрос 8. Сколько вспомогательных функций нужно ввести, чтобы свести одно дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешенное относительно старшей производной, к нормальной системе дифференциальных уравнений?

1. n

2. n + 1

3. n - 1

Вопрос 9. Сколько начальных условий нужно задать для отыскания частного решения системы уравнений, приведенной в вопросе 6?

1. n

2. n + 1

3. n - 1

Вопрос 10. Можно ли систему двух дифференциальных уравнений, неразрешимую относительно производных y1‘, y2" свести к нормальной?

1. Да

2. Нет

3. Да при определенных условиях

Вопрос 11. Какой вид имеет общее решение системы уравнений, приведенной в вопросе 6?

1. y = φ(x,y1,...,yn,C) , где С - произвольная постоянная

2. y1 = φ1(x,C1), y2 =φ2(x,C2), ..., yn = φn(x,Cn) где C1, C2,..., Cn- произвольные постоянные

3. y1 = φ1(x,C1,C2,...,Cn), y2 = φ2(x,C1C2,...,Cn),..., yn= φn(x,C1,C2,...,Cn)

Вопрос 12. Пусть дана следующая система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами:

x΄ + a1x + b1y +c1z= 0

y΄ + a2x+ b2y+c2z = 0, где x(t),y(t),z(t) - неизвестные функции.

z΄ + a3x+ b3y+c3z =0

Пусть для нее известны три системы частных решений (x1,y1,z1), (x2,y2,z2) и (x3,y3,z3).

При каком условии совокупность этих трех систем частных решений образует фундаментальную систему?

1. при t = 0

2. при некотором

3. при любом t

СЕМИНАРЫ

Задание 1

Вопрос 1. Принадлежность элемента a множеству M обозначается как ...

1. a ... M

2. a є M

3. a ... M

Вопрос 2. Множество А называется подмножеством множества B, если ...

1. элементы множеств A и B совпадают

2. всякий элемент множества B является элементом множества A

3. всякий элемент множества A является элементом множества B

Вопрос 3. Множество всех натуральных чисел, не превосходящих 100, является примером множества, заданного ...

1. списком элементов

2. порождающей процедурой

3. описанием характеристических свойств элементов

Вопрос 4. Если A = {1, 2, 3, 4}, B = {2, 3, 4, 5}, то объединением этих множеств AUB является множество...

1. {0,1, 2, 3, 4}

2. {1, 2, 3, 4, 5}

3. {2, 3, 4}

Вопрос 5. Если A = { 0,1, 2, 3}, B = {2, 3, 4, 5, 6}, то пересечением этих множеств A∩B является множество...

1. {2, 3,}

2. {0,1, 2, 3, 4, 5, 6]

3. {0,1}

Вопрос 6. Если разностью двух множеств A и B является пустое множество, т.е. A\B = ø , то ...

3.B = ø

Вопрос 7. Если A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6} , то разностью этих множеств A\B является множество...

1. {1, 2,}

2. {1, 2, 3, 4, 5, 6}

3. {3,}

Вопрос 8. Пусть A1, A2,..., An - конечные множества, мощности которых │A1│= m1, │A2│= m2,..., │An│= mn. Тогда мощность множества A1 x A2 x...x An равна ...

1. m1+ m2 + m3 +...mn

2. m1 2+ m2 2+ m3 2 +...mn 2

3. m1 m 2 m3 ...mn

Вопрос 9. Соотношение (x - 4 )2 + (y- 3)2 ≤ 1, задает соответствие между множествами действительных чисел R и R (осью абсцисс и осью ординат). Образом числа 5 при таком соответствии является ...

1. число 3

2. отрезок [2, 4] оси ординат

3. число 4

Вопрос 10. Если для конечного множества A его мощность│A│= n, то число всех подмножеств A равно ...

1. 2n

2. n

3. 2n

Вопрос 11. Множества, равномощные множеству натуральных чисел N, называются ...

1. замкнутыми

2. счетными

3. конечными

Вопрос 12. Множества A1 и A2 - области определения функций f и g. Необходимым условием равенства функций f и g является выполнение условия ...

1. ...

2 .A1∩ A2 = ø ,

3. A1 = A2

Задание 2

Вопрос 1. Отношение «иметь общий делитель, отличный от единицы» выполняется на множестве натуральных чисел N для пары ...

1. (3, 5)

2. (4, 8)

3. (2, 7)

Вопрос 2. Отношение «быть симметричным относительно оси x» выполняется на множестве точек действительной плоскости для всех пар точек (x1,y1) и (x2,y2), удовлетворяющих условию ...

1. x1 = - x2; y1 = - y2

2. x1 = - x2; y1 = y2 Z

3. x1 = x2; y1 = - y2

Вопрос 3. Главная диагональ матрицы рефлексивного отношения содержит ...

1. только единицы

2. только нули

3. и нули, и единицы

Вопрос 4. Отношения «больше» и «меньше» на множестве действительных чисел являются ...

1. рефлексивными

2. антирефлексивными

3. ни рефлексивными, ни антирефлексивными

Вопрос. 5. Если для любой пары (a, b) є M2 отношение R выполняется либо в обе стороны, либо не выполняется вообще, то отношение R является ...

1. рефлексивным

2. транзитивным

3. симметричным

Вопрос 6. Отношение «меньше или равно» является ...

1. антитранзитивным

2. симметричным

3. антисимметричным

Вопрос 7. Отношение называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, транзитивно ...

1. асимметрично

2. симметрично

3. антисимметрично

Вопрос 8. Если отношение антирефлексивно, антисимметрично и транзитивно, то оно является отношением ...

1. строгого порядка,

2. нестрогого порядка

3. эквивалентности

Вопрос 9. Отношения ≤ и ≥ для чисел являются отношениями

1. строгого порядка

2. нестрогого порядка

3. антирефлексивными

ментов a, b, c ...Вопрос 10. Алгебраическая операция φ называется ассоциативной, если для любых...

1. aφb = bφa

2. aφb = bφc

3. (a φb)φc = a φ( bφc)

Вопрос 11. Множество рациональных чисел, не содержащее нуля, с операцией умножения является ...

1. абелевой группой

2. некоммутативной группой

3.симметрической группой

Вопрос 12. Множество целых чисел с операцией сложения является абелевой циклической группой, обратным к элементу здесь является элемент ...

1. -a

2. ...

3. ...

Задание 3

Вопрос 1. Раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, удовлетворяющим тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов, - это ...

1. математическая логика

2. общая алгебра

3. комбинаторика

Вопрос 2. Символом совершенства пифагорейцы считали совершенные числа, равные сумме своих делителей, например ...

1. 5

2. 6

3. 8

Вопрос 3. В древней Греции было развито учение о ...

1. фигурных числах

2. многомерных пространствах

3. рядах

Вопрос 4. Укажите последовательность треугольных чисел.

1. 1, 3, 6, 9..

2. 1, 3, 6, 10..

3.2, 4, 6, 8..

Вопрос 5. Символ Ckn обозначает ...

1. упорядоченное k -элементное подможество n -элементного множества

2. число размещений из n элементов по k

3. число сочетаний из n различных предметов по k

Вопрос 6. Формула для числа сочетаний Ckn имеет вид ...

Вопрос 7. Первая в истории науки рекуррентная формула была получена в трудах ...

1. Пифагора

2. Леонардо Пизанского

3. Пьера Ферма

Вопрос 8. При бросании двух костей наиболее часто выпадает сумма чисел, равная ...

1. 6

2. 7

3. 8

Вопрос 9. Комбинаторика тесным образом связана с ...

1. открытием закона всемирного тяготения

2. созданием аппарата квантовой механики

3. историей расшифровки клинописных надписей

Вопрос 10. Торжеством комбинаторного подхода к явлениям жизни можно считать ...

1. создание клеточной теории

2. расшифровку строения ДНК

3. развитие эволюционного учения

Вопрос 11. Из трех положений комбинаторной теории генетического кода Гамова оказалось справедливым утверждение о том, что код является ...

1. невырожденным

2. перекрывающимся

3. триплетным

Вопрос 12. В физике комбинаторика оказывается необходимой, например, при изучении ...

1. свойств кристаллов

2. распространения электромагнитных волн

3. движения макротел

Задание 4

Вопрос 1. Комбинаторика изучает ...

1. методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

2. способы определения вероятности возникновения того или иного события

3. способы выборки и расположения предметов, свойства различных конфигураций

Вопрос 2. Задачи комбинаторики ...

1. формулируются для конечного числа элементов

2. предполагают использование методов математической статистики

3. рассматривают только бесконечные множества

Вопрос 3. Как показано Адамсом, задача о магическом шестиугольнике ...

1. не имеет решений

2. имеет одно единственное решение

3. имеет два решения

Вопрос 4. В тех случаях, когда никакие предварительные расчеты не позволяют найти конфигурацию элементов с заданными свойствами, используют ...

1. метод неопределенных множителей Лагранжа

2. метод наименьших квадратов

3. перебор всех вариантов

Вопрос 5. Какое количество не бьющих друг друга шахматных коней можно поставить на доску , если ... четно?

Вопрос 6. Для какого числа вида n = 4k+2 задача построения пары ортогогнальных квадратов порядка n оказывается неразрешимой?

1. n= 6

2. n =10

3. n = 22

Вопрос 7. Размещение элементов в блоки, подчиненное некоторым условиям относительно появления элементов и их пар называют ...

1. матрицей Жордана

2. блок-схемой

3. треугольником Паскаля

Вопрос 8. Утверждение о том, что если в ящиков положено более, чем n предметов, то хотя бы в одном ящике лежат два или более предметов, лежит в основе ...

1. алгоритма Евклида

2. теоремы Коши

3. принципа Дирихле

Вопрос 9. Пусть в каком-нибудь множестве

1. 2k элементов

2. 2k+1 элементов

3. k элементов

Вопрос 10. Система точек и ориентированных отрезков, идущих из одной точки в другую, - это ...

1. ориентированные графы

2. диаграммы Эйлера - Вена

3. столбиковые диаграммы

Вопрос 11. Утверждение о том, что любую карту на плоскости можно раскрасить четырьмя красками так, чтобы никакие две смежные стороны не были покрашены в один цвет, доказано лишь для карт, содержащих ...

1. менее 10 стран

2. менее 40 стран

3. менее 80 стран

Вопрос 12. Каким минимальным количеством красок можно раскрасить любую карту на плоскости так, чтобы никакие две смежные страны не были покрашены в один цвет?

1. 5

2. 6

3. 7

Задание 5

Вопрос 1. Сколько существует трехзначных номеров, не содержащих цифры 8?

1. 81

2. 512

3. 729

Вопрос 2. Число компонентов кортежа - это его ...

1. длина

2. мощность

3. объем

Вопрос 3. Чему равна длина кортежа, представляющего собой семизначный номер телефона в Москве, составленного из элементов множества X = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

1. 7

2. 9

3. 10

Вопрос 4. Сколько слов, содержащих 5 букв, можно составить из 33 букв русского алфавита при условии, что любые две стоящие рядом буквы различны?

1. 335

2. 33´324

3. 332´323

Вопрос 5. Имеется множество X, состоящее из ... элементов. Кортежи длины k, составленные из элементов этого множества при условии, что все элементы каждого кортежа различны, представляют собой ...

1. размещения без повторений

2. перестановки с повторениями

3. размещения с повторениями

Вопрос 6. По какой формуле рассчитывается число размещений Akn без повторений из n элементов по k?

Вопрос 7. Число способов расстановки восьми ладей на шахматной доске, при которых они не бьют друг друга, равно ...

1. 8´8 =64

2. 8! = 40320

3. 8

Вопрос 8. Два кортежа эквивалентны, если они ...

1. имеют одинаковый состав

2. имеют одинаковую длину

3. имеют одинаковую длину и на соответствующих местах стоят одни и те же элементы

Вопрос 9. Для сочетаний справедливо соотношение ...

1. Ckn = Ckn-1.

2.Ckn = Cn-kn ,

3. Ckn = Ck-1n-1

Вопрос 10. Как называется общий принцип комбинаторики, утверждающий, что если объект a можно выбрать m способами, а объект b выбрать n способами, то выбор «a или b » можно сделать m + n способами?

1. принцип Хемминга

2. правило произведения

3. правило сумм

Вопрос 11. Если множества A и B содержат соответственно m иn элементов, а их пересечение A ∩ B содержит p элементов, то число элементов в объединении множеств равно ...

1. m + n - p

2. m + n

3. m - n + p

Вопрос 12. Если число дождливых дней равняется 12, ветреных - 8, холодных - 4, дождливых и ветреных - 5, дождливых и холодных - 3, ветреных и холодных - 2, дождливых, ветреных и холодных - 1, то общее число плохих дней вычисляется как ...

1. 12 + 8 - 4 + 5 - 3 -2 + 1 = 17

2. 12 + 8 + 4 - 5 - 3 -2 + 1 = 15

3. 12 + 8 + 4 - 5 + 3 -2 - 1 = 19

Задание 6

Вопрос 1. Принятие решений в исследовании операций - сложный процесс, в котором выделяют несколько этапов. Первый этап предполагает ...

1. построение математической модели рассматриваемой проблемы

2. построение качественной модели рассматриваемой проблемы

3. исследование влияния переменных на значение целевой функции

Вопрос 2. Важным разделом математического программирования является линейное программирование, предполагающее, что ...

1. на переменные накладываются условия целочисленности

2. целевая функция квадратична, а ограничениями являются линейные равенства и неравенства

3. целевая функция линейна, а множество, на котором ищется экстремум целевой функции, задается системой линейных равенств и неравенств

Вопрос 3. В общей задачей линейного программирования функция вида называется ...

1. характеристической

2. целевой

3. производящей

Вопрос 4. Совокупность чисел X = (x1, x2,..., xn), удовлетворяющих ограничениям общей задачи линейного программирования, называется ...

1. допустимым решением

2. асимптотическим решением

3. вырожденным решением

Вопрос 5. Канонической (или основной) задачей линейного программирования называется задача определения максимального значения функции при выполнении условий и ...

1. x j ≤ 0

2. x j ≥ 0

3. xj< 0

Вопрос 6. План X٭ = (x1٭, x2٭,..., x٭n), при котором целевая функция общей задачи линейного программирования принимает свое максимальное (минимальное) значение, называется ...

1. невырожденным

2. базисным

3. оптимальным

Вопрос 7. План X = (x1; x2;...; xn ) называется опорным планом основной задачи линейного программирования, если векторы Pj, входящие в разложение x1P1 + x2P2 +...+ xnPn + P0, с положительными коэффициентами xj...

1. равны

2. линейно независимы

3. линейно зависимы

Вопрос 8. Пусть X1, X2,..., Xn - произвольные точки евклидова пространства En. Выпуклой линейной комбинацией этих точек называется сумма a1X1 + a2X2 +...+ anXn, где ai - произвольные неотрицательные числа, сумма которых равна ...

1. n

2. n + 1

3. 1

Вопрос 9. Множество планов основной задачи линейного программирования является ...

1. выпуклым

2. универсальным

3. бесконечным

Вопрос 10. Если точка выпуклого множества не может быть представлена в виде выпуклой линейной комбинации каких-нибудь двух других различных точек данного множества, то эта точка называется ....

1. внутренней

2. угловой

3. особой

Вопрос 11. Решение задачи линейного программирования можно найти с помощью ...

1. метода аналогии

2. метода Томаса-Ферми

3. симплекс-метода

Вопрос 12. Симплексный метод решения задачи линейного программирования основан на переходе от одного опорного плана к другому, при котором значение целевой функции ...

1. не меняется

2. убывает

3. возрастает

Задание 7

Вопрос 1. Число переменных в двойственной задаче ...

1. может быть произвольным

2. равно числу переменных в исходной задаче

3. равно числу ограничений в исходной задаче

Вопрос 2. Коэффициенты при неизвестных в целевой функции двойственной задачи ...

1. равны между собой

2. являются свободными членами в системе ограничений исходной задачи

3. равны коэффициентам при неизвестных в целевой функции исходной задачи

Вопрос 3. Укажите целевую функцию F* двойственной задачи, если в исходной задаче целевая функция равна F = 2x1 + x2 + 3x3 , а ограничения имеют вид:

-x1 + 3x2 -5x3 = 12

2x1 - x2 + 4x3 = 24

3x1 + x2 + x3 = 18

1. F* = 12y1 + 24y2 + 18y3

2. F* = 2y1 + y2 + 3y3

3. F* = - y1 + 3y2 - 5y3

Вопрос 4. Если Х - некоторый план исходной задачи, a Y - произвольный план двойственной задачи, то для соответствующих целевых функций F и F* исходной и двойственных задач всегда справедливо соотношение ...

1. F ≥ F*

2. F < F*

3. F ≤ F*

Вопрос 5. Если одна из задач двойственной пары или имеет оптимальный план, то и другая имеет оптимальный план, причем, для значений целевых функций соответствующих задач Fmax и F*min при их оптимальных планах справедливо соотношение ...

1. Fmax = F*min

2. Fmax > F*min

3. Fmax < F*min

Вопрос 6. Если целевая функция одной задачи из двойственной пары неограничена, то другая задача ...

1. вообще не имеет планов

2. также неограничена

3. ограничена

Вопрос 7. Двойственный симплекс-метод можно применить при решении задачи линейного программирования, свободные члены системы уравнений которой ...

1. должны быть положительными

2.могут быть любыми числами

3. должны быть неотрицательными

Вопрос 8. При решении задачи линейного программирования двойственным симплекс-методом выделяют несколько этапов: сначала ...

1. находят опорный план

2.находят псевдоплан

3. составляют симплекс-таблицу

Вопрос 9. Для разрешимости транспортной задачи необходимо и достаточно, чтобы запасы груза в пунктах отправления были ...

1. равны потребностям в грузе в пунктах назначения

2. меньше потребностей в грузе в пунктах назначения

3. больше потребностей в грузе в пунктах назначения

Вопрос 10. В математической модели задачи целочисленного программирования как целевая функция, так и функции в системе ограничений ...

1. должны быть линейными

2. должны быть нелинейными

3. могут быть линейными, нелинейными и смешанными

Вопрос 11. Наиболее известным методом определения оптимального плана задачи целочисленного программирования является метод ...

1. Лагранжа

2. Остроградского

3. Гомори

Вопрос 12. Укажите первый этап в решении задачи целочисленного программирования по методу Гомори.

1. составление дополнительного ограничения

2. решение задачи без учета требования целочисленности переменных с использованием симплекс-метода

3. проверка опорного плана на оптимальность

Задание 8

Вопрос 1. Процесс нахождения решения задачи нелинейного программирования с использованием ее геометрической интерпретации начинается с этапа определения ...

1. поверхности уровня

2. точки области допустимых решений, через которую проходит поверхность наивысшего уровня

3. области допустимых решений задачи

Вопрос 2. Задача нахождения максимального значения функции F = x2 - x12 +6x1

при условиях может служить примером задачи ...

1. линейного программирования

2. нелинейного программирования

3. целочисленного программирования

Вопрос 3. Метод множителей Лагранжа в общей задачи нелинейного программирования предполагает, что ...

1. условие неотрицательности отсутствует

2.система ограниченийявляется линейной

3. система ограничений содержит и уравнения, и неравенства

Вопрос 4. В математическом анализе задачу f(x1, x2,...xn) → max (min); называют ...

1. задачей оптимального управления

2. задачей регулирования по быстродействию

3. задачей на условный экстремум

Вопрос 5. Определение экстремальных точек задачи f(x1, x2,...xn) → max (min); методом множителей Лагранжа включает несколько этапов. Прежде всего ...

1. вычисляют значение целевой функции в точках экстремума

2. составляют функцию Лагранжа

3. находят точки, в которых целевая функция задачи может иметь экстремум

Вопрос 6. Задачи динамического программирования ...

1. являются многошаговыми

2. входят в класс задач линейного программирования

3. решаются в один этап

Вопрос 7. Если целевая функция задачи нелинейного программирования не является выпуклой (вогнутой), то ее решение можно найти с помощью ...

1. метода множителей Лагранжа

2. динамического программирования

3. метода Хартри-Фока

Вопрос 8. В задаче динамического программирования предположение о том, что состояние X( k), в которое перешла система S, зависит от данного состояния X( k-1) и выбранного управления u k и не зависит от того, каким образом система S пришла в состояние X(k-1), называется ...

1. условием отсутствия последействия

2. естественным граничным условием

3. условием периодичности

Вопрос 9. Если в результате реализации k -го шага обеспечивается выигрыш W k ( X( k-1) ,u k), зависящий от исходного состояния системы X( k-1) и выбранного управления uk, то общий выигрыш за п шагов составляет ... . Это условие называется ...

1. условием неотрицательности целевой функции

2. достаточным условием существования максимума целевой функции

3. условием аддитивности целевой функции

Вопрос 10. Под оптимальной стратегией управления понимают совокупность управлений U* = (u*1 , u*2,..., u*n), в результате реализации которых система S за n шагов переходит из начального состояния X(0) в конечное X(n) и при этом функция ...

1. остается постоянной

2. принимает наибольшее значение

3. принимает наименьшее значение

Вопрос 11. Укажите принцип утверждающий, что каково бы ни было состояние системы перед очередным шагом, надо выбрать управление на этом шаге так, чтобы выигрыш на данном шаге плюс оптимальный выигрыш на всех последующих шагах был максимальным.

1. принцип суперпозиции

2. принцип двойственности

3. принцип оптимальности

Вопрос 12. Математическая запись принципа оптимальности носит название ...

1. основного функционального уравнения Беллмана

2. уравнения Гамильтона Якоби

3. двумерного уравнения Гельмгольца

Задание 9

Вопрос 1. Опережающее управление - это ...

1. деятельность, направленная на получение дополнительной прибыли

2. деятельность, направленная на расширение производства

3. способность предвидеть проблемы и строить свои действия так, чтобы исключить или ослабить влияние нежелательных последствий этих проблем в настоящем и будущем

Вопрос 2. Одним из методов опережающего управления является ...

1. причинно-следственный анализ

2. прямой метод опровержения суждений

3. математический анализ

Вопрос 3. К параметрам определения проблемы относят опознание, в задачу которого входит ответ на вопросы ...

1. где территориально находится объект с замеченным дефектом? Где на объекте возник дефект?

2. какая часть объекта дефектна? Сколько дефектных объектов?

3. на каком объекте замечен дефект? В чем он точно заключается?

Вопрос 4. Первый шаг в процессе причинно-следственного анализа включает в себя ...

1. описание проблемы

2. формулирование проблемы

3. выявление различий, вызывающих проблему

Вопрос 5. Одним из вариантов причинно-следственного анализа является ...

1. иерархическое прослеживание причинно-следственных связей вплоть до первопричины

2. проверка обоснованности стандартов работы перед анализом причины

3. выявление причины путем сравнения различий в условиях работы

Вопрос 6. При выполнении функций контроля и слежения возникает особая необходимость в ...

1. анализе проблем, которые возникли с первого же дня функционирования объекта

2. причинно-следственном анализе в обратном порядке - от причины к следствию

3. обнаружении первопричины и построении причинных цепей иерархии

Вопрос 7. Решение может принимать ряд форм. Стандартным называется решение, при принятии которого ...

1. существует фиксированный набор альтернатив

2. нет приемлемых альтернатив

3. существует альтернатива типа «или-или»

Вопрос 8. Как называется решение в виде «да» или «нет»

1. стандартное решение

2. бинарное решение

3. многоальтернативное решение

Вопрос 9. Инновационным, или новаторским, называется решение, при котором ...

1. существует вполне определенный набор альтернатив

2. имеется очень широкий спектр альтернатив

3. требуется предпринять действия, но нет приемлемых альтернатив

Вопрос 10. Первый шаг в применении метода оптимизации критериев при организации инновационной деятельности - это ...

1. конструирование идеального решения по отношению к каждому критерию

2. составление полного перечня желаемых конечных результатов, т. е. критериев

3. сравнение каждой из частных оптимальных идей на предмет их взаимной поддержки

Вопрос 11. Процесс анализа плана управленческой работы включает в себя несколько шагов. Первый шаг предусматривает ...

1. выработку подстраховывающих мероприятий

2. выявление потенциальных проблем и возможностей

3. краткое изложение плана, включая описание желательного конечного результата

Вопрос 12. Процесс обзора ситуации состоит из четырех шагов. В качестве первого шага выступает ...

1. выявление и рассмотрение задач (и тех их следствий, которые следует поставить под контроль)

2. разделение и уточнение задач

3. установление приоритетов (значимость, срочность и тенденции)

СЕМИНАРЫ

Задание 1

Вопрос 1. Изучение закономерностей однородных массовых случайных явлений составляет предмет ...

1. линейной алгебры

2. математического анализа

3. теории вероятностей

Вопрос 2. Если в условиях испытания каждый раз возможно появление только одного из событий A, B, C и т.д., то эти события называются...

1. несовместимыми

2. противоположными

3. совместимыми

Вопрос 3. При одновременной стрельбе из двух винтовок по двум мишеням события, состоящие в поражении мишеней, являются ...

1. совместимыми

2. несовместимыми

3. достоверными

Вопрос 4. Событие, противоположное достоверному, называется ...

1. случайным

2. невозможным

3. возможным

Вопрос 5. Отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению данного события, к числу всех исходов испытания - это...

1. частота появления события

2. относительная частота появления события (частость)

3. вероятность наступления события

Вопрос 6. Различные расположения четырех человек, сидящих на четырехместной скамье, являются примером ...

1. размещений

2. сочетаний

3. перестановок

Вопрос 7. Сочетаниями из n элементов по m элементов называются соединения, которые различаются ...

1. либо составом, либо порядком элементов

2. только составом элементов

3. только порядком элементов

Вопрос 8. Вероятность наступления одного из нескольких несовместимых событий без указания, какого именно, равна ...

1. сумме вероятностей этих событий

2. разности вероятностей этих событий

3. произведению вероятностей этих событий

Вопрос 9. Сумма вероятностей событий, образующих полную систему, равна ...

1. 0

2. 1

3. 1/2

Вопрос 10. Если для событий A и B появление или непоявление одного из них не изменяет вероятности появления другого, то события A и B называются ...

1. зависимыми

2. противоположными

3. независимыми

Вопрос 11. Обобщенная формула сложения вероятностей, выражающая вероятность появления одного из двух событий A и B при условии их совместимости, имеет вид ...

1. P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)

2. P(A + B) = P(A) + P(B)

3. P(A + B) = P(A) + P(B) + P(AB)

Вопрос 12. Для двух независимых событий A и B вероятность их совместного наступления равна...

1. P(A) P(B)

2. P(A) + P(B)

3. P(A) - P(B)Ỉ

Задание 2

Вопрос 1. Ряд испытаний называется независимым по отношению к событию A, если вероятность появления A в каждом испытании...

1. определяется результатом прочих испытаний

2. не зависит от результатов прочих испытаний

3. отлична от нуля

Вопрос 2. Вероятность появления события A m раз при n независимых испытаниях вычисляется по формуле ...

1. Бернулли

2. Бальмера

3. Тейлора

Вопрос 3. Если p - вероятность появления события A в каждом отдельном испытании, q=1-p, то вероятность появления этого события m раз при n независимых испытаниях вычисляется по формуле...

Вопрос 4. Вероятность попадания в цель составляет при отдельном выстреле p=0,9. Чему равна вероятность трех попаданий при четырех выстрелах?

1. 0,2916

2. 0, 9830

3. 0,0103

Вопрос 5. Вероятность появления события A m раз при n независимых испытаниях с ростом числа т сначала увеличивается, а затем после достижения наибольшего значения ...

1. не меняется

2. уменьшается

3. колеблется вокруг наибольшего значения

Вопрос 6. В системе n независимых испытаний наиболее вероятное число m0 появлений события A находится в интервале...

1. np - q ≤ m0 ≤ np + p.n

2. np - q ≤ m0 ≤ np

3. np ≤ m0 ≤ np + p

Вопрос 7. Наиболее вероятное число m0 появлений события А в системе независимых испытаний может принимать два значения, когда np - q...

1. дробное число

2. отрицательное число

3. целое число

Вопрос 8. Если использовать обозначения σ =√npq, и ...

Вопрос 9. Асимтотическая формула Лапласа используется ...

1. при малых значениях вероятности p появления события

2. при большом количестве независимых испытаний n

3. при малом количестве независимых испытаний n

Вопрос 10. График функции , называемый кривой вероятностей, ...

1. симметричен относительно оси Оу

2. симметричен относительно оси Оx

3. пересекается с осью Оx

Вопрос 11. Для так называемых редких событий (со значениями р, близкими к нулю) применяется асимптотическая формула ...

1. Бейеса

2. Лапласа

3. Пуассона

Вопрос 12. Использование асимптотической формулы Пуассона допустимо, если...

1. λ = np ≤ 10

2. λ = np ≤ 50

3. λ = np ≤ 100

Задание 3

Вопрос 1. Случайная величина, представляющая собой число отличных оценок на экзамене у студентов одной группы, является ...

1. непрерывной

2. дискретной

3. смешанной

Вопрос 2. Функция F(x), определяющая вероятность того, что случайная величина X в результате испытания примет значение, меньшее x, называется ...

1. плотностью распределения

2. дисперсией

3. функцией распределения

Вопрос 3. Значения функции распределения случайной величины принадлежат области ...

1. (1,+∞)

2. [0, 1]

3. (-∞,0)

Вопрос 4. В случае равномерного распределения случайной величины на отрезке [a,β]плотность ее вероятности изображается ...

1. отрезком прямой, параллельной оси Oх

2. отрезком прямой, проходящей через точки (a,0) и (β,1)

3. отрезком прямой, параллельной оси Оy

Вопрос 5. Плотность распределения случайной φ(x) величины обладает свойством...

1. φ(x) < 0

2. φ(x) ≤ 0

3. φ(x) > 0

Вопрос 6. Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на соответствующие вероятности называется...

1. средним квадратическим отклонением

2. математическим ожиданием

3. дисперсией

Вопрос 7. Математическое ожидание постоянной величины равно ...

1. нулю

2. единице

3. этой же величине

Вопрос 8. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно ...

1. сумме математических ожиданий этих величин

2. произведению математических ожиданий этих величин

3. произведению этих величин

Вопрос 9. Если - математическое ожидание случайной величины X, то дисперсия этой случайной величины D(X) определяется по формуле...

Вопрос 10. Среднее квадратическое отклонение σ и дисперсия D(X) связаны соотношением...

1. σ = 2D(X)

2. σ = D2(X)

3. σ = √D(X)

Вопрос 11. Непрерывная случайная величина называется нормально распределенной, если плотность ее вероятности определяется формулой ...

Вопрос 12. Сущность теоремы Ляпунова заключается в том, что при некоторых общих условиях сумма n независимых случайных величин, заданных произвольными распределениями, имеет распределение, которое по мере возрастания числа n стремится к ...

1. нормальному

2. равномерному

3. биномиальному

Задание 4

Вопрос 1. Если случайная величина Х не принимает отрицательных значений, a = M(x), то согласно неравенству Маркова, ...

Вопрос 2. В неравенстве Маркова величина δ является ...

1. произвольной

2. произвольной положительной

3. произвольной отрицательной

Вопрос 3. Среднее число выпускников московских вузов, ежегодно поступающих в аспирантуру по экономическим специальностям, составляет 500 человек. Вероятность того, что в данном году поступит не более 530 человек, может быть оценена с помощью неравенства Маркова следующим образом ...

Вопрос 4. Неравенство Маркова справедливо...

1. только для дискретных случайных величин

2. только для непрерывных случайных величин

3. и для непрерывных, и для дискретных случайных величин

Вопрос 5. Неравенство , где X - случайная величина, a - математическое ожидание, D - дисперсия, d- произвольное положительное число, - это ...

1. неравенство Чебышева

2. неравенство Бернулли

3. неравенство Коши

Вопрос 6. Вероятность того, что отклонение длины изготовленной детали от среднего значения не превысит 0,5 см при величине дисперсии D = 0,1 , может быть оценена с помощью неравенства Чебышева следующим образом...

Вопрос 7. Теорема Чебышева является наиболее общим выражением...

1. закона сложения дисперсий

2. закона малых чисел

3. закона больших чисел

Вопрос 8. Теорема Чебышева позволяет оценить вероятность отклонения средней арифметической попарно независимых случайных величин от их ...

1. математических ожиданий

2. дисперсий

3. средних квадратических отклонений

Вопрос 9. Если X, Y, Z,...,V попарно назависимые случайные величины, математические ожидания которых соответственно равны а, b, с, .., l , ε- произвольное положительное число, то математическая запись теоремы Чебышева имеет вид...

Вопрос 10. Теорема Бернулли является частным случаем...

1. теоремы Ляпунова

2. теоремы Гаусса

3. теоремы Чебышева

Вопрос 11. Теорема Бернулли утверждает, что при неограниченном возрастании числа n независимых испытаний частость появления события A как угодно мало отличается от ... ...

1. вероятности появления события A m раз при n испытаниях

2. вероятности события A в отдельном испытании

3. вероятности появления события A n раз при n испытаниях

Вопрос 12. Математическая запись теоремы Бернулли имеет вид ...

Задание 5

Вопрос 1. Выборочное наблюдение является наиболее совершенным и научно обоснованным способом...

1. сплошного наблюдения

2. монографического наблюдения

3. несплошного наблюдения

Вопрос 2. Выделенная для обследования часть генеральной совокупности называется ...

1. однородной совокупностью

2. выборочной совокупностью

3. статистической совокупностью

Вопрос 3. Если каждая карточка, наугад вынутая из пачки, не возвращается в общую пачку, то зафиксированные номера карточек определят состав ...

1. собственно случайной повторной выборки

2. серийной, или кластерной выборки

3. собственно случайной бесповторной выборки

Вопрос 4. Отношение объема выборочной совокупности n к объему генеральной совокупности N, т. е. ..., называется ...

1. размахом выборки

2. выборочным средним

3. относительным показателем выборки

Вопрос 5. Если объемы генеральной и выборочной совокупностей равны соответственно N = 30000, n = 1500, то относительный показатель выборки равен ...

1. 1/20

2. 1/10

3. 1/5

Вопрос 6. Величина расхождения между показателями по данным выборочного обследования и соответствующими показателями генеральной совокупности - это...

1. ошибка репрезентативности

2. ошибка измерения

3. ошибка регистрации

Вопрос 7. Если xi - значение признака в выборочной совокупности объема n, ni - число элементов, имеющих это значение, то выборочная средняя вычисляется по формуле ...

Вопрос 8. Если N- численность генеральной совокупности, М - количество единиц, обладающих данным признаком в ее составе, то доля (р) единиц, обладающих этим признаком в генеральной совокупности называется ...

1. генеральной средней

2. генеральной долей

3. выборочной долей

Вопрос 9. Выборочная дисперсия вычисляется по формуле...

Вопрос 10. Применение теоремы Чебышева к выборочной средней дает возможность установить, что при достаточно большом объеме выборки выборочная средняя практически ...

1. равна нулю

2. сколь угодно мало отличается от генеральной средней

3. стремится к бесконечности

Вопрос 11. Центральная предельная теореме Ляпунова устанавливает, что сумма п независимых случайных величин, заданных произвольным распределением, но удовлетворяющих определенным условиям, при достаточно большом п подчиняется закону, сколь угодно близкому к ...

1. равномерному распределению

2. биномиальному распределению

3. нормальному распределению

Вопрос 12. Вероятность Р, отвечающая условию ..., где ..., - cоответственно генеральная и выборочная средние называется ....

1. условной

2. доверительной

3. классической

Задание 6

Вопрос 1. Зависимость L = 2πR между длиной окружности L и ее радиусом R может служить примером...

1. статистической зависимости

2. корреляционной зависимости

3. функциональной зависимости

Вопрос 2. Характерная особенность взаимосвязей в массовых явлениях состоит в том, что каждому значению одной величины x соответствует ...

1. только одно вполне определенное значение y

2. несколько значений y с различными вероятностями каждого из них

3. несколько вполне определенных значений y

Вопрос 3. Статистическая связь между значениями показателей x и y может быть представлена в виде...

1. вариационного ряда

2. таблицы случайных чисел

3. корреляционной таблицы

Вопрос 4. Суммы чисел nky по столбцам корреляционной таблицы дают ...

1. частоты соответствующих значений переменной у

2. частоты соответствующих значений переменной x

3. сумму всех частот N

Вопрос 5. Графическое отображение связи между значениями x и соответствующими частными средними называется ...

1. линией регрессии

2. диаграммой рассеяния

3. кривой Гаусса

Вопрос 6. Зависимость , соответствующая линии регрессии, называется...

1. жестко детерминированной

2. корреляционной

3. функциональной

Вопрос 7. Определении аналитическими методами параметров корреляционного уравнения, которому приближенно удовлетворяют значения x и или у и , называется операцией ...

1. отображения

2. дифференцирования

3. выравнивания

Вопрос 8. Отыскание параметров уравнений прямых регрессии и обычно выполняется по методу ...

1. наименьших квадратов

2. наибольшего правдоподобия

3. градиента

Вопрос 9. Коэффициент a в уравнении прямой регрессии называется ...

1. коэффициентом корреляции

2. коэффициентом прямой регрессии у по х

3. коэффициентом вариации

Вопрос 10. Коэффициент прямой регрессии ρ y / x может быть вычислен по формуле...

Вопрос 11. Коэффициент с в уравнении называют ...

1. коэффициентом разброса

2. коэффициентом затухания

3. коэффициентом прямой регрессии х по у

Вопрос 12. Коэффициент прямой регрессии ρx / y может быть вычислен по формуле...

Задание 7

Вопрос 1. Корреляцию называют положительной, если коэффициенты регрессии ρx / y , ρ y / x удовлетворяют соотношениям ...

1. ρx / y > 0, ρ y / x > 0

2. ρx / y = 0, ρ y / x > 0

3. ρx / y > 0, ρ y / x = 0

Вопрос 2. Если a - острый угол, образованный прямой регрессии y по x с осью Оx, то коэффициент регрессии ρ y / x равен...

1. ctg a

2. cos a

3. tg a

Вопрос 3. Прямые регрессии при отрицательных коэффициентах регрессии образуют с соответствующими осями ...

1. прямые углы

2. тупые углы

3. острые углы

Вопрос 4. Величина r = ±√ ρ y / xρx / y, где ρ y / xи ρx / y - коэффициенты прямых регрессии y по x и x по y, называется коэффициентом ...

1. асимметрии

2. эксцесса

3. корреляции

Вопрос 5. Если коэффициент корреляции r = 0, то между величинами x и y ...

1. существует функциональная зависимость

2. существует линейная корреляционная зависимость

3. не существует ни функциональной, ни линейной корреляционной зависимости

Вопрос 6. Необходимым и достаточным признаком. линейной функциональной зависимости между х и у является обращение коэффициента корреляции в ...

1. ± 1

2. 0

3. ∞

Вопрос 7. Если σx и σy- дисперсии соответствующих рядов распределений, то выражение для коэффициента корреляции может быть записано в виде...

Вопрос 8. Теснота связи для всех случаев корреляции, как линейной, так и криволинейной, измеряется с помощью...

1. коэффициента корреляции

2. корреляционного момента

3. корреляционного отношения

Вопрос 9. Корреляционное отношение ηx/yопределяется в соответствии с формулой ...

Вопрос 10. При точной линейной корреляционной связи y по x и x по y выполняются соотношения ...

1. η x ⁄ y=│r│, η y ⁄x < │r│

2. η x ⁄ y=│r│, η y ⁄x= │r│

3. η x ⁄ y<│r│, η y ⁄x < │r│

Вопрос 11. Сводный коэффициент корреляции R, определяющий тесноту корреляционой связи между тремя величинами x, y, z может быть найден по формуле...

Вопрос 12. Сводный коэффициент корреляции R, определяющий тесноту корреляционой связи между тремя величинами x, y, z принимает значения...

1. R > 1

2. R < 0

3. 0 ≤ R ≤ 1

Задание 8

Вопрос 1. Предположение о распределении вероятностей, которое мы хотим проверить по имеющимся данным, называется ...

1. статистическим критерием

2. статистической гипотезой

3. статистической оценкой

Вопрос 2. Укажите утверждение, являющееся статистической гипотезой

1. генеральная совокупность распределена по нормальному закону

2. на Марсе есть жизнь

3. объем случайной выборки равен 200

Вопрос 3. Гипотеза, полностью задающая распределение вероятностей, называется ...

1. конкурирующей

2. сложной

3. простой

Вопрос 4. Вероятность ошибочно отвергнуть гипотезу, когда она верна называют ...

1. уровнем значимости

2. доверительной вероятностью

3. выборочным средним

Вопрос 5. Ошибка первого рода заключается в том, что ...

1. принимается неправильная гипотеза

2. принимается правильная гипотеза

3. отвергается правильная гипотеза

Вопрос 6. Если β - вероятность ошибки второго рода, то величину 1 - β называют ...

1. мощностью критерия

2. интервальной оценкой

3. средним абсолютным отклонением

Вопрос 7. Номер, который получит каждое наблюдение после упорядочения всех данных по определенному правилу, называется ...

1. стандартом наблюдения

2. рангом наблюдения

3. размахом варьирования

Вопрос 8. Если упорядочение чисел производят по величине - от меньшего к большему, то в выборке из чисел 6, 17, 14, 5, 12 рангом числа 12 является...

1. 5

2. 4

3. 3

Вопрос 9. Процедура перехода от совокупности наблюдений к последовательности их рангов называется...

1. случайным отбором

2. ранжированием

3. табулированием

Вопрос 10. Количество наблюдений в данной связке называют ее...

1. размахом

2. размером

3. мощностью

Вопрос 11. Если p - вероятность в схеме испытаний Бернулли, то сложной правосторонней альтернативой к гипотезе H: p =1/3 является гипотеза H1:...

1. p ≠ 1/3

2. p<1/3

3. p>1/3

Вопрос 12. Если основная гипотеза имеет вид H: p = p0, то альтернатива вида H: p ≠ p0 является ...

1. двусторонней

2. правосторонней

3. левосторонней

Задание 9

Вопрос 1. При исследовании различий в двух выборках часто предполагают, что законы распределения двух анализируемых выборок ...

1. отличаются только сдвигом

2. различны

3. являются нормальными

Вопрос 2. Распределение G(x) принадлежит сдвиговому семейству распределений F, задаваемому распределением F(x), если существует такая величина q, что для любого x...

1. F(x) = Ө G (x)

2. F(x) =G (Өx)

3. F(x) = G (x- Ө )

Вопрос 3. Проверка гипотезы о статистической однородности двух выборок является назначением критерия...

1. Манна-Уитни

2. Пирсона

3. Бартлетта

Вопрос 4. Критерий Манна-Уитни требует, чтобы законы распределения двух выборок были ...

1. известными

2. нормальными

3. непрерывными

Вопрос 5. Критерий Манна-Уитни требует, чтобы выборкиx1,..., xm и y1,...,ynбыли ...

1. типическими

2. независимыми

3. малыми

Вопрос 6. Если закон распределения первой выборки обозначить через F, а второй - через G, то утверждение об однородности выборок x1,..., xm и y1,...,ynможно записать в виде H ...

1. F ≠ G

2. F = G

3. F ≥ G

Вопрос 7. Критерий Уилкоксона также, как и критерий Манна-Уитни, используется для проверки гипотезы ...

1. об однородности дисперсий

2. о предполагаемом законе неизвестного распределения

3. об однородности двух выборок

Вопрос 8. В критерии Уилкоксона статистика W может принимать все целые значения от минимального значения до максимального...

1. mn + ...

2. (m+n) + ...

3. n + ...

Вопрос 9. Статистика Уилкоксона и статистика Манна-Уитни связаны между собой соотношением ...

1. W =U +(m+ n)

2. W =U + ...

3. W =U ...

Вопрос 10. Критерий знаков используется для проверки гипотезы ...

1. о равенстве средних двух нормальных генеральных совокупностей

2. об однородности парных наблюдений

3. о равенстве дисперсий двух нормальных генеральных совокупностей

Вопрос 11. В критерии знаков при анализе парных наблюдений используется допущение относительно величины zi = yi - xi, i= 1,...,n.: все zi предполагаются ...

1. взаимно независимыми

2. равными

3. положительными

Вопрос 12. Утверждение об отсутствии эффекта обработки для повторных парных наблюдений (x1,y1),...,(xn,yn) можно записать в виде H : P(xi< yi) = P(xi> yi)=...

1. 0

2. 1/2

3. 1

ТЕСТ

Задание 1

Вопрос 1. Когда возникла идея о бесконечности числового ряда?

1. В I веке до н.э.

2. Во II веке до н.э.

3. В III веке до н.э.

4. В IV веке до н.э.

5. В V веке до н.э.

Вопрос 2. Какое из чисел не является рациональным?

1. 1 ⁄ 2

2. 0.1

3. 0.111.....

4. π = 3.14...

5. 1 ⁄ 7 = 0.142857142857 ...

Вопрос 3. Какое из чисел не является действительным?

1. е (основание "натуральных логарифмов")

2. π = 3.14...

3. 1 ⁄ 7

4. √2

5. √-2

Вопрос 4. В какой строке свойство кватернионов записано с ошибкой?

1. i2 = - 1

2. i2 = j2

3. k2 = -1

4. jk = i

5. kj = jk

Вопрос 5. Какое трансфинитное число получится в результате увеличения трансфинитного числа x0 на 1000000?

1. x0

2. x1

3. x2

4. 1000000

5. x2 - 1000000

Задание 2

Вопрос 1. Как можно сформулировать основные направления математических исследований в общественных науках?

1. Исследования в области линейного программирования

2. Исследования в области нелинейного программирования

3. Исследования в области экономики

4. Исследования в области кибернетики

5. Исследования в части точного описания функционирования общественных систем и их частей и исследования влияния сознательного воздействия (управления) на функционирование социальных структур и течение социальных процессов.

Вопрос 2. Какое предположение лежит в основе использования матрицы коэффициентов выживаемости и рождаемости?

1. Предположение о неизменности выживаемости и рождаемости

2. Предположение об однородной возрастной структуре

3. Предположение о прекращении эпидемий на рассматриваемом временном интервале

4. Предположение об отсутствии войн

5. Предположение об отсутствии стихийных бедствий

Вопрос 3. Какая гипотеза является следствием рассмотрения модели изменения численности аристократов в племени Нетчез?

1. Количество аристократов в племени было стабильным

2. Племя не имело стабильной классовой структуры

3. Племя вело жестокие войны

4. Количество "парий" (неимущих) в племени постоянно возрастало

5. Общая численность племени не могла быть стабильной

Вопрос 4. Какая из гипотез не использовалась в простейшей модели экономического роста?

1. Общий доход равен сумме затрат на предметы потребления и сбережений

2. Сбережения равны затратам на средства труда

3. Доля сбережений не равна нулю

4. Производство дополнительной продукции пропорционально дополнительным капиталовложениям

5. Рост производства дополнительной продукции опережает рост затрат

Вопрос 5. Как чаще всего целесообразно решать проблему, возникающую при необходимости учета дополнительных факторов в очень большой и сложной экономической модели?

1. Ввести в модель новые категории и зависимости

2. Постараться выделить (разработать) подмодели, в которых будут учтены дополнительные факторы

3. Разработать модель заново с учетом дополнительных факторов

4. Упростить модель, затем учесть дополнительные факторы

5. Учесть в модели всю имеющуюся информацию

Задание 3

Вопрос 1. Какая из геометрических фигур не изучается планеметрией?

1. Треугольник

2. Ромб

3. Параллелепипед

4. Окружность

5. Параллелограмм

Вопрос 2. Какая из формулировок является определением?

1. Существуют по крайней мере две точки

2. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов

3. Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны

4. Прямой АВ называется фигура, являющаяся объединением всевозможных отрезков, содержащих точки А и В

5. Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости

Вопрос 3. Какая из формулировок о параллельных прямых по смыслу совпадает с пятым постулатом Евклидовских "Начал"?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую

2. Две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные и внутренние накрест лежащие углы

3. Если прямая пересекает две другие прямые так, что внутренние односторонние углы с каждой из них оказываются в сумме меньше 180°, то эти прямые пересекаются по ту сторону от прямой, по какую лежат эти углы

4. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны

5. При пересечении двух параллельных прямых третьей сумма внутренних односторонних углов равна 180°

Вопрос 4. Найдите ложное утверждение.

Два треугольника равны, если они имеют соответственно равные:

1. три стороны

2. три угла

3. сторону и два прилежащих угла

4. два катета

5. гипотенузу и катет

Вопрос 5. Найти пару равновеликих геометрических фигур: ...

Задание 4

Вопрос 1. Какое утверждение противоречит V постулату Евклида?

1. Множество точек, лежащих по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии от нее, есть прямая

2. Сумма углов треугольника равна 180°

3. Существуют подобные неравные треугольники

4. Сумма углов всякого четырехугольника меньше 360°

5. Две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы

Вопрос 2. Какое из высказываний является аксиомой параллельности Лобачевского?

1. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую

2. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой

3. Существует такая прямая а и такая, не лежащая на ней точка А, что через точку А проходит не меньше двух прямых, не пересекающих прямую а

4. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой параллельны

5. Прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными

Вопрос 3. По равенству каких из заданных соответствующих элементов двух треугольников в геометрии Евклида делается вывод о подобии треугольников, а в геометрии Лобачевского - вывод о равенстве треугольников?

1. По трем сторонам

2. По двум сторонам и углу между ними

3. По катету и гипотенузе

4. По стороне и двум прилежащим углам

5. По трем углам

Вопрос 4. Указать число, которое не может быть суммой углов четырехугольника на плоскости Лобачевского:

1. 100°

2. 270°

3. 300°

4. 330°

5. 360°

Вопрос 5. Указать число, которое не может быть суммой углов сферического треугольника:

1. 440°

2. 190°

3. 170°

4. 360°

5. 510°

Задание 5

Вопрос 1. Какое из понятий не является основным и подлежит определению в планиметриях Евклида и Лобачевского?

1. Отношение "точка В лежит между точками А и С"

2. Точка

3. Расстояние

4. Угол

5. Прямая

Вопрос 2. Найдите аксиому I группы.

1. Для любой прямой существуют ровно две полуплоскости, ограниченные этой прямой

2. Существуют, по крайней мере, три точки, не лежащие на одной прямой

3. Для любых точек А и В выполняется равенство │AB│ = │BA│

4. Равенство │AB│+│BC│=│AC│ выполняется тогда и только тогда, когда точка В принадлежит отрезку АС

5. Всякое движение есть взаимно однозначное соответствие

Вопрос 3. Какое из высказываний непосредственно следует из аксиом принадлежности?

1. Пусть прямая а не проходит через точки А, В и С. Тогда если прямая а пересекает отрезок АВ, то она пересекает еще один и только один из отрезков ВС или АС

2. Если луч с началом в вершине угла проходит через внутреннюю точку угла, то все его точки, кроме начала, лежат внутри угла

3. Для любых двух точек А и В существует такая точка С, что точка В лежит между А и С

4. Две прямые имеют не более одной общей точки

5. Из трех точек, лежащих на одной прямой, одна и только одна лежит между двумя другими

Вопрос 4. Найдите ошибку в определении интерпретации элементов модели Пуанкаре планиметрии Лобачевского.

1. Верхняя полуплоскость - это открытая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой х

2. Абсолют - прямая х, граница верхней полуплоскости

3. Точки абсолюта - точки плоскости Лобачевского

4. Открытые полуокружности верхней полуплоскости с концами на абсолюте - неевклидовые прямые

5. Лучи полуплоскости с началом на абсолюте и перпендикулярные ему - также неевклидовые прямые

Вопрос 5. Найдите ошибку в описании элементов арифметической модели системы аксиом евклидовой планиметрии.

1. Любая упорядоченная пара целых чисел ( х, у) - "точка", а число х, у - координаты "точки"

2. Уравнение ax + by + c = 0, где a, b є R , a2 + b2 > 0 - "прямая"

3. Ось ординат - "прямая" х = 0

4. Ось абсцисс - "прямая" у = 0

5. Начало координат - "точка" (0, 0)

Задание 6

Вопрос 1. Как называется функция, производная которой равна данной функции?

1. Неявная функции

2. Подинтегральная функция

3. Неопределенный интеграл

4. Первообразная функция

5. Дифференциальное выражение

Вопрос 2. Найдите ошибочное выражение, если F(x) - одна из первообразных для функции f(x), а С - произвольное постоянное.

1. ∫ f(x)dx = F(x) + C

2. ∫dF(x) = F(x)

3. d ∫ f (x)dx = f(x)dx

4. ∫ ex dx = ex +C

5. ∫ dx = x +C

Вопрос 3. Какое из выражения является интегралом ∫ (3x2 - 2x + 5)dx?

1. 3x3 - 2x2+ 5 + C

2. 3 ⁄ 2 x 2 - 2x + 5x + C

3. 3x2 - 2x + 5 + C

4. x3 - x2 + 5x + C

5. x3 - x2 + 5 + C

Вопрос 4. Какое из выражений является интегралом ... ?

1. - 2 - 2x -3 +3x -4 +C

2. 21n x - x -1 + 2x -2 + C

3. 21n x - 2x -1 + 3x -2 +C

4. 2x -2 - 2x -3 + 3x -4 + C

5. ...

Вопрос 5. Какое из выражений является интегралом ∫ 3t 5t dt ?

1. t 3t-1 + t 5t-1 +C

2. 2t 152t-1 +C

3. t 15t-1 +C

Задание 7

Вопрос 1. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле ... ?

1. x = et

2. x = 4et + 3

3. t = 3 + 4ex

4. t = 4ex

5. (3 + 4ex)-1

Вопрос 2. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле ∫tg3 φdφ?

1. t = t g3 φ

2. t = tg2φ

3. φ = tg t

4. φ = tg3t

5. φ = arctg t

Вопрос 3. Какое из выражений целесообразно принять за u при интегрировании по частям интеграла ... ?

1. u = 1n x

2. ...

3. u = x3

4. u = x -3

5. ...

Вопрос 4. Какое из выражений целесообразно принять за u при интегрировании по частям интеграла ∫x2e3xdx?

1. u = x

2. u = ex

3. u = x2

4. u = e3x

5. u = x2e2x

Вопрос 5. Какое из выражений является интегралом ∫ x arctg xdx ?

Задание 8

Вопрос 1. Какое из уравнений является разложением многочлена ( x3 + 4x2 + 4x) на простейшие действительные множители?

1. x(x2 + 4x + 4)

2. (x(x + 4) + 4)x

3. x(x2 + 4(x +1))

4. x(x + 2)2

5. x(x + 2)(x + 4)

Вопрос 2. Какой из многочленов имеет следующие действительные корни:

простой корень, равный 1;

корень второй кратности, равный (-2);

два сопряженных комплексных корня: i и (-i)?

1. (x + 1)(x - 2)2(x + i)(x - i)

2. (x + 1)(x2 - 4)(x2 + 1)

3. (x - 1)(x + 2)2(x2 + 1)

4. (x2 + x - 2)(x2 + 1)

5. (x - 1)(x + 2)2(x - i)2

Вопрос 3. Какая из рациональных дробей является неправильной?

Вопрос 4. Какое из выражений является представлением неправильной рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби?

Вопрос 5. Какое из выражений является разложением рациональной дроби на простейшие, где через A1 , A2 , B1 , B2 , M1 , M2 ,N1 , N2 , обозначены неизвестные действительные числа.

Задание 9

Вопрос 1. Какое из выражений является разложением рациональной дроби на целую часть и простейшие дроби?

Вопрос 2. Найдите интеграл ...

Вопрос 3. Какая подстановка позволяет найти интеграл ...?

1. x - 1 = t

2. ...

3. ...

4. x + 1 = t

5. ...

Вопрос 4. Найти интеграл ...

1. 1n x - 21n x + 1 + 21n(x2 - x + 1) = C

2. - x -2 + 2(x + 1) -2 -2x(x2 -x + 1) -2 + C

Вопрос 5. Какое выражение является иррациональным относительно функций 3√ x и √ x - 1?

Задание 10

Вопрос 1. Какой из примеров используется при интегрировании четной степени синуса или косинуса?

1. Понижение подинтегральной функции (вдвое) заменой sin2 x (cos2 x) по тригонометрическим формулам.

2. Отделение одного из множителей sin x (cos x) и замены его новой переменной.

3. Замена tg x или ctg x новой переменной.

4. Разложение на слагаемые по формулам произведения тригонометрических функций.

5. Интегрирование по частям.

Вопрос 2. Какой интеграл не выражается в элементарных функциях?

1. ...

2. ∫ x sin xdx

3. ∫ xn 1n xdx

4. ∫ x -1 ex dx

5. ∫ e 5x cos4 xdx

Вопрос 3. Найти интеграл ∫ sin2 3x dx

Вопрос 4. Найти интеграл ∫ sin 3 x cos 5 xdx

1. - 6cos 6 x + 8cos 8 x + C

2. ...

3. - 8cos8 x + 6cos6 x + C

4. ...

5. ...

Вопрос 5. Найти интеграл ...

Задание 11

Вопрос 1. Чему равна площадь фигуры на рисунке ...?

Вопрос 2. Если задана функция скорости v= f(f) при движении тела от точки А до точки В, что можно узнать интегрированием этой функции по времени?

1. Время движения тела от точки А до точки В

2. Скорость в точке В

3. Ускорение

4. Путь пройденный телом при движении от точки А до точки В

5. Расстояние между точками А и В

Вопрос 3. По какой переменной нужно проинтегрировать функцию силы, чтобы получить работу, совершенную при перемещении тела из точки А в точку В?

1. По пути

2. По времени

3. По скорости

4. По силе

5. По работе

Вопрос 4. Чему равна площадь заштрихованной фигуры ... ?

Вопрос 5. Какое из утверждений верно? Интеграл - это:

1. Функция от х

2. Фунция от f(x)

3. Функция от f(x) и φ(x)

4. Функция от y = f(x) - φ(x)

5. Число

Задание 12

Вопрос 1. Каков геометрический смысл определенного интеграла от функции y = f(x) в интервале [ a, b] в системе декартовых координат?

1. Длина линии y = f(x) в интервале [ a, b]

2. Алгебраическая площадь фигуры, ограниченной линией y = f(x) в интервале [ a, b]

3. Среднее значение функции y = f(x) в интервале [ a, b]

4. Произведение среднего значения функции в интервале [ a, b] на длину интервала

5. Максимальное значение функции y = f(x) в интервале [ a, b]

Вопрос 2. Чему равен интеграл для любой непрерывной функции f(x):

1. нуль

2. ...

3. F(a)

4. F(0)

5. ..., где F(t) - первообразная от F(t)

Вопрос 3. Чему равен интеграл ..., где c, k, m - константы:

Вопрос 4. Какое из утверждений верно для любой непрерывной функции ?

Вопрос 5. Не вычисляя интеграл ... оценить границы его возможного значения, используя теорему об оценке определенного интеграла.

1. от 1 до

2. от до

3. от до

4. от до

5. от до 1

Задание 13

Вопрос 1. Какое из следующих утверждений верно для любой непрерывной функции f(x), если F(x) - первообразная от f(x).

1. ... - число

2. ...

3. ...

4. ... - функция от x

5. ...

Вопрос 2. Вычислить интеграл, используя формулу интегрирования по частям, и выберите правильный ответ

Вопрос 3. Вычислить интеграл, используя правило замены переменных ...

Вопрос 4. Не производя вычислений, укажите интеграл, равный нулю ...

Вопрос 5. Вычислить интеграл ...

Задание 14

Вопрос 1. Какой из приведенных ниже интегралов является несобственным, если функция ... - непрерывна?

Вопрос 2. Чему равен интеграл

1. ...

2. Интеграл расходится

3. 0

4. 2

5. ...

Вопрос 3. Чему равен интеграл ...

1. ...

2. 0

3. ¥

4. p

5. 2p

Вопрос 4. Какое из дифференциальных выражений является полным дифференциалом?

1. (x + 3y2)dx + (x2 + y2)dy

2. cos x cos ydx - sin y(sin x + 4 co s y)dy

3. y sin xdx + x sin ydy

4. x21n ydx + x 3 y -1 dy

5. arcos ydx + arcos xdy

Вопрос 5. Какая из функций является первообразной для дифференциального выражения (x2 + y2)dx + 2xydy?

1. ...

2. ...

3. ...

4. x3 + y2 + y2x + C

5. ...

Задание 15

Вопрос 1. Какое из уравнений не является дифференциальным? (y функция от x).

1. y " = f(x)

2. f "(x) = C

3. y " + yex = tg3x

4. dy = x

5. 2yy " = 1

Вопрос 2. Сколько частных решений имеет уравнение xy " = y + x?

1. 1

2. 2

3. 7

4. 51

5. Бесконечное множество.

Вопрос 3. Сколько общих решений имеет дифференциальное уравнение xy " = y?

1. 1

2. 2

3. 100

4. 72

5. Бесконечное множество.

Вопрос 4. Что является условием наличия единственного частного решения уравнения y" = f(x,y) при условии y│x = x0 = y0?

1. Непрерывность функции f(x, y)

2. Интегрируемость функции f(x, y)

3. Непрерывность f(x, y) в области, содержащей точку (x0, y0)

4. Непрерывность функции f(x, y) и ее частной производной в некоторой области, содержащей точку f(x, y)

5. Непрерывность функции f(x, y) и ее частной производной в некоторой области, содержащей точку (x0, y0).

Вопрос 5. Какое из уравнений не является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

1. x(y + 1)dx - (x2 + 1)ydy = 0

2. ...

3. ...

4. y " + p(x)y = q (x)

5. ...

Задание 16

Вопрос 1. Какой величине пропорциональна скорость радиоактивного распада?

1. Массе распавшегося вещества

2. Общей массе радиоактивного вещества

3. Массе нераспавшегося вещества

4. Температуре радиоактивного вещества

5. Произведению температуры и массы вещества.

Вопрос 2. Какое из дифференциальных уравнений нельзя свести к линейному?

1. ...

2. du - sin xdx = 0

3. ydy - dx = 0

4. ...

5. y " = x2

Вопрос 3. Какое из дифференциальных уравнений не является однородным?

1. (xy - y2)dx - (x2 - 2xy)dy = 0

2. ...

3. xy " = y

4. xy " = y + 1

5. ...

Вопрос 4. К какому дифференциальному уравнению приводит задача о вытекании жидкости из цилиндрического сосуда через отверстие?

1. К нелинейному

2. К уравнению с разделяющимися переменными

3. К однородному

4. К дифференциальному уравнению второго порядка

5. К дифференциальному уравнению третьего порядка

Вопрос 5. Какое из дифференциальных уравнений описывает охлаждение тела в среде с постоянной температурой?

1. y " = C1(C2 - y) , где C2 - температура среды, C1 - постоянная величина

2. , где ТС - температура среды, k - постоянная величина

3. dT = - k(T2 - TC)dt , где ТС - температура среды, k - постоянная величина

4. dT = T dt + T

5. dT = - kdt + kT , где k - постоянная величина

Задание 17

Вопрос 1. Какое из уравнений является уравнением в полных дифференциалах? (Установить с помощью проверки выполнения условия)

1. y3dx + 3xdy = 0

2. 2y2dx + y3dy = 0

3. xdx + xydy = 0

4. ...

5. ...

Вопрос 2. Как выглядит уравнение изоклины для уравнения y " = f(x, y)?

1. C = f(x, y)

2. f(x, y) = φ(y, z)

3. ...

4. x - y = 0

5. xdx + ydy = 0

Вопрос 3. Пусть с помощью графического метода Эйлера построена интегральная кривая y = φ(x) уравнения y " = f(x,y), причем при ее построении интервал [ x0 , x] разбивали на n частей точками x1, x2 ,..., xn -1. Какому условию удовлетворяет φ(x)?

Вопрос 4. Какой вид имеет дифференциальное уравнение второго порядка?

1. y2 = f(x, y, y ")

2. F(x, y, y", y") = 0

3. F(x2 , x, y2 ,y, y") = 0

4. (ay")2 + by" + cy + dx = 0

5. f(x, y, y") = 0

Вопрос 5. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка?

1. y = φ(x, C1, C2, C3), где C1, C2, C3 - произвольные константы

2. y = φ(x, C1, C2,), , где C1, C2, - произвольные постоянные

3. y = φ(x)

4. y = φ(x, z)

5. y" = φ(x, C1, C2), где C1, C2 - произвольные постоянные

Задание 18

Вопрос 1. Сколько начальных условий необходимо задать для определения постоянных величин C1, C2 в общем решении дифференциального уравнения второго порядка?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. 0

Вопрос 2. При каком условии можно утверждать, что существует решение уравнения y" = f(x,y, y´), удовлетворяющее условиям y│x = x0 = y0, y´│x = x0 = y´0.

1. f(x, y, y") определена в точке (x0, y0, y0´)

2. f(x, y, y") = 0 в точке (x, y0, y0´)

3. f(x, y, y") интегрируема в некоторой окрестности точки (x0, y0, y0´)

4. f(x, y, y") непрерывна в точке (x0, y0, y0´)

5. f(x, y, 0") непрерывна по у

Вопрос 3. К какому дифференциальному уравнению при решении сводится уравнение yy" + (y´)2 = 0?

1. К уравнению в полных дифференциалах

2. К уравнению с разделяющимися переменными

3. К дифференциальному уравнению третьего порядка

4. К линейному дифференциальному уравнению первого порядка

5. К дифференциальному уравнению, не содержащему у

Вопрос 4. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

1. Количеством операций (шагов) при его решении

2. Количеством переменных величин в правой части

3. Максимальной степенью переменной х

4. Дифференцируемостью правой части уравнения

5. Высшим порядком производной, входящей в уравнение

Вопрос 5. Сколько произвольных постоянных величин содержит решение дифференциального уравнения 4-го порядка, если начальные условия не заданы?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. 5

Задание 19

Вопрос 1. Какое из уравнений не сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка?

1. 5y" - y´ - 2y = 1n x + 3y

2. y" + xy´ + y = x

3. y" + y´ = xy

4. y2 + y´ + y = f(x)

5. ...

Вопрос 2. Под каким номером записано выражение, которое не может быть общим решением уравнения вида y" + a1y + a2y = 0 ни при каких значениях а1, а2?

1. C1e2x + C2e -x

2. C1e2x + C2xe2x

3. e3x(C1 cos4x + sin 4x)

4. ...

5. ex (C1x - C2)

Вопрос 3. Под каким номером записано частное решение уравнения y" - 2y´ - y= 0 при начальных условиях y│x = 1 = 0 y´│x = 1 = 0?

1. e2x

2. xex

3. cos 2x

4. sin 2x

5. 0

Вопрос 4. Под каким номером записано общее решение уравнения y" - 4y´ + 4y = 0?

1. C1e2x + C2

2. xC1 + C2e2x

3. (C1 + C2x)ex

4. C1e2x - C2xe2x

5. (C1ex + C2x)ex

Вопрос 5. Под каким номером записано общее решение уравнения y" + 25y = 0?

1. ex(C1 cos 5x + C2 sin 5x)

2. C1e5x + C2

3. e5x(C1 + C2 sin 5x)

4. C1 sin(5x + C2)

5. C1 cos x + C2 sin x

Задание 20

Вопрос 1. Под каким номером записано общее решение уравнения y" + 6y´ + 9y = 3cos 2x + 3sin 2x?

1. C1 cos2x + C2 sin 2x

2. ...

3. (1 + 2x)e - 3x + C1 sin 2x + C2 cos 2x

4. ...

5. C1e3x + C2e - 3x + C3 sin 2x - C4 cos2x

Вопрос 2. Какова степень многочлена Q(x) в частном решении y = Q(x)e5 уравнения y" - 6y´ + 9y = (x3 + 5x2 + 9)e5x ?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. 5

Вопрос 3. Под каким номером указан вид частного решения уравнения y" + 9y = P1(x)cos3x + P2(x)sin 3x, где P1(x),P2(x) - многочлены четвертой степени?

1. y = e3x(R1(x)cos3x + R2(x) sin 3x) , где R1(x), R2(x) - многочлены третьей степени

2. y = e3x(R1(x)cos3x + R2(x) sin 3x) , где R1(x), R2(x) - многочлены четвертой степени

3. y = x(R1(x)cos3x + R2(x) sin 3x) , где R1(x), R2(x) - многочлены четвертой степени

4. y = ex(R1(x)cos3x + R2(x) sin 3x) , где R1(x), R2(x) - многочлены пятой степени

5. y = R1(x)cos3x + R2(x) sin 3x) , где R1(x), R2(x) - многочлены шестой степени

Вопрос 4. Какое из уравнений не может быть решено методом вариации произвольных постоянных?

1. ...

2. ...

3. y" - 5y = sin x cos2x

4. exy" + 7ex y´ = 3 ctgex

5. Любое из перечисленных уравнений может быть решено методом вариации произвольных постоянных

Вопрос 5. Под каким номером указан вид общего решения уравнения y" - 10y´ = x2?

1. C1ex + C2e10x + P(x)ex, где C1,C2 - произвольные постоянные, P(x) - полином второй степени

2. C1 sin x + C2 cos10x + P(x), где C1,C2 - произвольные постоянные P(x), - полином третьей степени

3. C1 + C2e10x+ P(x) - где C1,C2 - произвольные постоянные, P(x) - полином второй степени

4. C1, + C2e10x + xP(x) - где C1,C2 - произвольные постоянные, P(x) - полином второй степени

5. C1e10x + C2 P(x) - где C1,C2 - произвольные постоянные, P(x) - полином второй степени

Задание 21

Вопрос 1. Под какой цифрой записана система линейно зависимых функций?

1. sin x, cos x

2. sin x, cos x, tgx

3. x 2 + 1, x 4, x 3

4. ex , e2x , xex

5. x, x2 + 1, (x +1)2

Вопрос 2. Какой из определителей является определителем Вронского?

Вопрос 3. Предположим, что y1, y2, y3 - фундаментальная система решений уравнения вида y´´´ - y´´+ 2y´ - 3y = 0 . Что можно сказать об определителе ?

1. Это не вронскиан

2. V(y1, y2, y3,) = 0 V(y1, y2, y3,) = 0 при любом значении х

3. в точке

4. V(y1, y2, y3,) # 0 при любом значении х

5. ...

Вопрос 4. Предположим, что характеристическое уравнение r3 + a1r2 + a2r +a3 = 0 имеет корни: ... Какова фундаментальная система решений соответствующего однородного дифференциального уравнения?

1. ex , e - 2x , e5x

2. e5x , xe2x , xe-2x

3. ex cos2x ,xex cos2x,e5x

4. ex sin 2x, xex sin 2x, e5x

5. ex cos2x,ex sin 2x, e5x

Вопрос 5. Каким дифференциальным уравнением описываются свободные механические колебания?

1. Линейным дифференциальным уравнением первого порядка

2. Линейным однородным дифференциальным уравнением второго порядка

3. Линейным дифференциальным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами ненулевой правой частью

4. Дифференциальным уравнением третьего порядка с ненулевой правой частью

5. Однородным дифференциальным уравнением третьего порядка

Задание 22

Вопрос 1. При каком условии ток в электрической цепи будет установившимся?

1. Если дифференциальное уравнение колебаний в электрической цепи является линейным однородным

2. ..., где R - сопротивление, С - емкость, L - индуктивность электрической цепи

3. Правая часть уравнения , описывающего изменение тока в цепи не равна нулю

4. Правая часть уравнения , описывающего изменение тока в цепи не равна нулю

5. Правая часть управления , описывающего изменение тока в цепи равна нулю

Вопрос 2. Сколько начальных условий определяют частное решение нормальной системы дифференциальных уравнений?

1. Столько же, сколько функций y1,...yn составляют решение этой системы

2. В два раза больше, чем порядок дифференциальных уравнений в системе

3. Число начальных условий совпадает с порядком дифференциальных уравнений системы

4. Число начальных условий совпадает с максимальным числом переменных в правых частях дифференциальных уравнений системы

5. 2

Вопрос 3. Какая из систем дифференциальных уравнений не может быть приведена к нормальной?

1. ...

2. ...

3. ...

4. ...

5. Все перечисленные системы приводятся к нормальным

Вопрос 4. Какое из дифференциальных уравнений не может быть сведено к нормальной системе дифференциальных уравнений?

1. 10y" = f(x, y, y´)

2. xy´´´ = f(x, y, y´, y´´)

3. y´´ = x2 - 2y´´ - 3y - y´

4. ...

5. ...

Вопрос 5. В каком случае задачу решения системы дифференциальных уравнений можно свести к задаче решения одного дифференциального уравнения, порядок которого равен числу уравнений системы?

1. Если правые части дифференциальных уравнений системы непрерывны вместе со своими частными производными при значениях x0, y10, y20,..., yn0

2. Если правые части дифференциальных уравнений системы линейно независимы

3. Если система уравнений является нормальной

4. Если число уравнений системы не превышает число начальных условий

5. Если система не может быть приведена к нормальной

Задание 23

Вопрос 1. Сколько систем частных решений образуют фундаментальную систему решений системы трех линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. Фундаментальную систему образует одно общее решение системы

Вопрос 2. При каком условии может быть получено частное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, удовлетворяющее любым заданным начальным условиям?

1. Наличие фундаментальной системы решений

2. Непрерывность функций, образующих некоторое частное решение

3. Интегрируемость функций, образующих общее решение

4. Определитель матрицы, строками которой являются частные решения системы дифференциальных уравнений при t = t0 не обращается в ноль

5. Определитель матрицы, строками которой являются частные решения системы дифференциальных уравнений равен нулю

Вопрос 3. Какой вид имеет частное решение системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае действительных и различных корней характеристического уравнения k1, k2,..., kn?

1. x1 = k1et, x2 = k2et,..., xn = knet

2. x1 = sin k1t, + cosk1t, x2 = sin k2t + cos k2t,...,x n = sin knt + cos knt

3. x1 = C1(sink1t + cosk1t), x2 = C2(sink2t + cosk2t),..., x n = C n(sinknt + cosknt), где C1,C2,...,C n- постоянные величины

4. x1 = C1ek1t , x2 = C 2ek2t ...., x n = Cneknt , где C1,C2,...,C n- постоянные величины

5. Здесь нет частного решения

Вопрос 4. Какой вид имеет частное решение системы двух линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения a + βi, a - βi?

1. x1 = e at(λ1 cos βt + λ2 sin βt), x2 = e at(γ1 cos βt + γ2 sinβt), где λ1,λ2,γ1,γ2 - постоянные величины

2. x1 = (λ1 sin at + λ2 cos at)eβt , x2 = (γ1 sin at + λ2 cosat)eβt, где λ1,λ2,γ1,γ2 - постоянные величины

3. x1 = taeβt , x2 = eat

4. x1 = λ1teat + λeβt , x2 = γ1teat+ y2e βt, где λ1,λ2,γ1,γ2 - постоянные величины

5. x1 = λ1eat + λ2teβt , x2 = y 1eat+ y2teβt = , где λ1,λ2,γ1,γ2 - постоянные величины

Вопрос 5. Под каким номером записано общее решение системы уравнений ?

1. ...

2. x1 = e4t , x2 = et

3. x1 = et (C1 cos4t + C2 sin 4t), x2 = e 4t (C3 cost = C4 sint), где C1, C2, C3, C4 - постоянные величины

4. x1 = C1 cost + C2 sin4t, x2 = C3 cos4t + C4 sint, где C1, C2, C3, C4 - постоянные величины

5. ..., где C1, C2 - постоянные величины

ТЕСТ

Задание 1

Вопрос 1. Пусть А, В - множества. Что означает запись A...B, B...A?

1. Множество А является строгим подмножеством множества В, которое является истинным подмножеством множества А

2. Множества А, В являются бесконечными

3. Множества А, В являются конечными

4. Множества А, В не являются пустыми

5. Множества А, В равны

Вопрос 2. Пусть А - непустое множество всех учеников школы (A # ø), В - множество учеников пятых классов этой школы, С - множество учеников седьмых классов этой школы. Какая из записей выражает ложное утверждение? (Скобки здесь, как и в арифметических выражениях, задают порядок действий).

1. B ... A

2. B ... C ... A

3. B \ C ... A

4. (B∩A)\A = ø

5. A ... ( B ... C)

Вопрос 3. Какое из утверждений не всегда (не для любых множеств А, В, С) является верным?

1. A∩B = B∩A

2. A È B = B È A

3. A\B = B\A

4. A Ç (BÈ C) = (AÇ B) È (A Ç C)

5. A È (BÇ C) = (AÈ B) Ç (A È C)

Вопрос 4. Пусть NH - множество дней недели, а NЯ - множество дней в январе. Какова мощность множества NHNЯ?

1. 38

2. 217

3. 365

4. 31

5. 7

Вопрос 5. Рассмотрим множество показаний часов v = {(d1,d2,d3)│d1ÎN, d2ÎN,d3ÎN,0 ≤ d1 ≤ 23, 0 ≤ d2 ≤ 59, 0 ≤ d3 ≤ 59} Что можно утверждать относительно элемента а множества п β v? (a...п β V) .

1. a Î R \ N

2. aÎ N 2

3. a Î R 2

4. a ≤ 59

5. a ≤ 23

Задание 2

Вопрос 1. Рассмотрим соответствие G между множествами А и В (GÍA´B) . В каком случае соответствие называется всюду определенным?

1. пр1 G = B

2. пр2 G = B

3. пр1 G = A

4. пр2G = A

5. A=B

Вопрос 2. Допустим, что существует взаимнооднозначное соответствие G между множествами А и В. Что можно сказать об их мощностях?

1. │A│- │B│< 0

2. │A│+│B│=│G│

3. │A│+│B│>│G│+│G│

4. │A│-│B│= 0

5. │G│-│B│>│A│

Вопрос 3. Какая функция не является суперпозицией функций f1(x1,x2) = x1 x2, f2(x1,x2) = x1 x2 + x2, f3(x1 + x2)2?

1. f 1(f 2(x 3, x 4),f 3(x1, x4))

2. f 1(x 1, x 2) + f 2(x 1, x 2)

3. f 3(f 1(x1, x 1), x 2)

4. ( f 2 (x 1, x 2) + f 1 (x3, x 4))2

5. f 1(x 1, x 2) x3

Вопрос 4. Рассмотрим бинарное отношение R на множестве М. Что можно утверждать об R, если это отношение транзитивно?

1. Если a Î M, то имеет место aRa

2. Если a Î M, b Î M, то aRa тогда и только тогда, когда bRa

3. В множестве М нет элемента а такого, что выполняетс я aRa

4. Если для элементов a, b, c множества М выполняется aRb и aRc, то не выполняется aRc

5. ..., где - транзитивное замыкание R

Вопрос 5. Каким свойством не обладает отношение нестрогого порядка R?

1. Рефлексивность

2. Транзитивность

3. Антисимметричность

4. ..., где - транзитивное замыкание R

5. Симметричность

Задание 3

Вопрос 1. Какова сигнатура булевой алгебры множеств?

1. { β(È),È,Ç,¯}

2. { Ç,¯,È }

3. U2 ® U

4. { +,- ,}

5. { Ì, ͯ }

Вопрос 2. Какая операция не является ассоциативной?

1. Объединение множеств

2. Деление чисел

3. Композиция отображений

4. Умножение дробей

5. Пересечение множеств

Вопрос 3. Рассмотрим алгебру A = ( M, j1, j2, j3) и алгебру . В каком случае можно утверждать, что│M│+│N│?

1. Если имеет место гомоморфизм А в В

2. Если имеет место гомоморфизм В в А

3. Если А и В изоморфны

4. Если совпадает арность операций и , и , и

5. Если существует отображение Г:M ® N, удовлетворяющее условию для всех i = 1, 2, 3и всех mi, Î M, где I(i) - арность операции j2и

Вопрос 4. Какая операция является обязательным атрибутом полугруппы?

1. Умножение на 2

2. Извлечение квадратного корня

3. Бинарная ассоциативная

4. Композиция отображений

5. Операция отождествления

Вопрос 5. Чем является полугруппа (M; + )? (M = {0, 1, 2, 3...} = N È{0})

1. Абелевой группой

2. Циклической группой

3. Свободной полугруппой

4. Моноидом

5. Циклической полугруппой

Задание 4

Вопрос 1. Какое из чисел является совершенным?

1. 28

2. 36

3. 14

4. 18

5. 3

Вопрос 2. Какое из чисел не является треугольным?

1. 6

2. 10

3. 15

4. 21

5. 27

Вопрос 3. Чему равно число сочетаний из пяти по три C35?

1. 10

2. 20

3. 9

4. 11

5. 12

Вопрос 4. Какая из формул, содержащих число сочетаний, не верна?

1. C0n + C1n + C2n + ... + Cnn = 2n

2. ...

3. C36 = C35 + C26

4. C37 = C47

5. ...

Вопрос 5. Предположим, что мы много раз бросаем пару игральных костей (кубиков с цифрами от 1 до 6 на гранях) и суммируем две выпавшие при каждом бросании цифры. Какую из перечисленных ниже сумм мы будем получать чаще других?

1. 1

2. 7

3. 6

4. 11

5. 12

Задание 5

Вопрос 1. Каким был первый наиболее важный шаг в расшифровке клинописных надписей, сделанный Мюнтером и Гротефендом?

1. Подбор наиболее вероятной версии перевода для часто встречающихся в клинописных надписях слов

2. Подбор букв из известных языков, похожих на буквы клинописи

3. Подбор наиболее близкого из современных языков

4. Ввод клинописных надписей в компьютер

5. Постановка в соответствие каждой букве клинописи некоторого натурального числа

Вопрос 2. Сколько всего разных пар можно составить из 4-х букв? (Сколько различных двухзначных чисел можно образовать, используя только цифры 1, 2, 3, 4 ?)

1. 4

2. 8

3. 16

4. 20

5. 2

Вопрос 3. Какому условию удовлетворяют все вырожденные коды?

1. Одно слово (один объект, например, аминокислота) кодируется (может быть представлен или определен) не одним, а несколькими сочетаниями символов (кодонами)

2. Условию линейности

3. Условию взаимнооднозначного соответствия между кодами и кодируемыми объектами (состояниями)

4. Это коды - неперекрывающиеся

5. Эти коды - перекрывающиеся

Вопрос 4. Какое высказывание не соответствует коду ДНК?

1. Существуют кодоны, которым не соответствует ни одна аминокислота

2. Этот код - линейный

3. Этот код - невырожденный

4. Этот код - неперекрывающийся

5. Этот код - триплетный

Вопрос 5. Какую важнейшую комбинаторную задачу решил 17 февраля 1869 г. Дмитрий Иванович Менделеев?

1. Задачу об обходе Кенигсбергских мостов

2. Задачу составления периодической системы химических элементов

3. Задачу расшифровки крито-микенского письма

4. Задачу об одновременном выпадании двух шестерок при бросании пары игральных костей

5. Задачу об оптимальном содержании спирта в крепких алкогольных напитках

Задание 6

Вопрос 1. Какое условие (предположение) характерно для всех комбинаторных задач?

1. В комбинаторных задачах всегда идет речь только о конечных множествах

2. В комбинаторных задачах никогда не используется перебор вариантов

3. В комбинаторных задачах всегда используется понятие бесконечности

4. Комбинаторные задачи всегда приводят к дифференциальным уравнениям

5. Комбинаторные задачи никогда не требуют составить алгоритм

Вопрос 2. Как быстрее решить задачу поиска (построения) магического квадрата третьего порядка, без использования компьютера?

1. С помощью геометрии Лобачевского

2. С помощью геометрии Евклида

3. С помощью дифференцирования или интегрирования

4. С помощью перебора и анализа всех квадратных матриц размером 3 на 3

5. Определив сумму по каждой из его строк, столбцов и диагоналей и составив все возможные тройки чисел, дающие эту сумму

Вопрос 3. Сколько всего существует способов расположения чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 в виде магического квадрата? (Под магическим квадратом следует понимать матрицу, сумма элементов которой по каждому столбцу, строке и диагонали одна и та же)

1. 1

2. 2

3. 4

4. 8

5. 12

Вопрос 4. Сколько способов (вариантов) расстановки восьми ферзей на шахматной доске так, чтобы ни один из них не мог взять другого, существует?

1. 1

2. 4

3. 12

4. 56

5. 92

Вопрос 5. Какое максимальное число коней, не бьющих друг друга, можно расставить на шахматной доске?

1. 16

2. 30

3. 32

4. 36

5. 24

Задание 7

Вопрос 1. Для какого числа n не может быть построена пара ортогональных квадратов?

1. n = 4

2. n = 5

3. n = 6

4. b = 10

5. n =14

Вопрос 2. Что называют блок-схемой в комбинаторике?

1. Таблицу всевозможных вариантов комбинирования элементов некоторого множества

2. Размещение элементов заданных множеств в блоки, подчиненное некоторым условиям относительно появления элементов и их пар

3. Квадратную матрицу, элементами которой являются пары букв

4. Матрицу, элементами которой являются тройки чисел

5. Расположение букв в виде прямоугольника размерами 6n + 3 на 3n + 1, где n - натуральное число

Вопрос 3. Как формулируется принцип Дирихле?

1. Когда на шахматную доску, имеющую 8 горизонталей, ставят 10 ферзей, то хотя бы одна пара будет бить друг друга

2. Если некоторые из n точек плоскости соединены отрезками, то всегда найдутся две точки, из которых выходит поровну отрезков

3. Когда на шахматную доску, имеющую 8 горизонталей, ставят 9 ферзей, то хотя бы одна пара ферзей будет бить друг друга

4. Если в n ящиков положено более, чем n предметов, то хотя бы в одном ящике лежат два или более предметов

5. Если в зале находится n человек, то хотя бы двое из них имеют одинаковое число знакомых среди присутствующих в зале

Вопрос 4. При попарном соединении какого числа точек отрезками двух цветов нельзя гарантировать, что найдутся три точки, являющиеся вершинами одноцветного треугольника?

1. 5

2. 6

3. 7

4. 8

5. 9

Вопрос 5. Как можно сформулировать теорему Ф. Холла о деревенских свадьбах?

1. Если для любых k юношей деревни пересечение множеств их подруг содержит по крайней мере k девушек, то каждый юноша деревни может выбрать себе жену из числа своих подруг

2. В деревне относительно каждого юноши и девушки известно, дружат они или нет. Если для k юношей объединение множеств их подруг содержит по крайней мере k девушек, то каждый юноша этой деревни сможет выбрать себе жену из числа своих подруг

3. Если для любых k юношей деревни объединение множеств их подруг содержит менее k девушек, то каждый юноша этой деревни сможет выбрать себе жену из числа своих подруг, если они до этого момента не выйдут замуж

4. Если в деревне n юношей и k девушек, то все юноши смогут найти себе невесту в своей деревне, если

5. Пусть в каком-нибудь множестве Х выделены подмножества Х 1,..., Хn. Для того, чтобы в Х можно было выбрать n различных элементов a1,..., anтаких, что a1 Î Х 1,..., an Î Хn, , необходимо и достаточно чтобы объединение любых k заданных подмножеств содержало не менее k элементов

Задание 8

Вопрос 1. Сколько существует двухзначных чисел, не содержащих цифры 0 и 1?

1. 20

2. 99

3. 81

4. 64

5. 72

Вопрос 2. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно (пользуясь только одним словарем) выполнять переводы с любого из пяти языков (например, русского, французского, немецкого, итальянского, английского) на любой другой из этих пяти?

1. 20

2. 25

3. 16

4. 55

5. 10

Вопрос 3. Каково число размещений с повторениями из n по k?

1. k n

2. nk

3. k n - 1

4. ...

5. ...

Вопрос 4. Сколько всего разных символов (букв, цифр, знаков препинания ... ) можно закодировать (представить) кортежами из точек и тире, имеющими длину от 1 до 5 ?

1. 30

2. 32

3. 126

4. 64

5. 62

Вопрос 5. Сколько всего кортежей вида a1, a2, ..., anможно образовать, если в качестве ai(1 ≤ i ≤ n) может быть взят любой из элементов множества Х i , мощность которого равна mi?

1. (m1 + m2 + ... + m n)n

2. ...

3. m1 m2 ... m n

4. (m1 + m2 + ... + m n)2

5. ...

Вопрос 5. В городе А телефонные номера четырехзначные и состоят из гласных букв. Причем, номера начинающиеся с букв А или Я принадлежат юридическим лицам. Сколько физических лиц могут быть абонентами телефонной сети этого города?

1. 10000

2. 38

3. 8000

4. 0,008

5. 8100

Задание 9

Вопрос 1. Сколько размещений без повторений из 10 элементов по 3 существует?

1. 100

2. 720

3. 999

4. 1000

5. 504

Вопрос 2. Сколькими способами можно поставить две ладьи разных цветов на шахматной доске (8x 8) так, чтобы они не били друг друга?

1. 64 32

2. 64 36

3. 64 56

4. 64 49

5. 64 48

Вопрос 3. Сколько разных кортежей букв длины 7, можно образовать перестановкой букв в слове "сколько"?

1. 7!

2. 420

3. 630

4. 1260

5. 2520

Вопрос 4. Допустим, что для посадки нам требуется 9 деревьев, а в магазине есть саженцы деревьев пяти сортов (пород). Из скольких вариантов (составов) покупки 9 деревьев нам придется выбирать?

1. Из 120

2. Из 240

3. Из 715

4. Из 672

5. Из 849

Вопрос 5. Сколько подмножеств, содержащих m элементов, у множества мощности k ( k>m)?

Задание 10

Вопрос 1. Какая из формул не является верной для любых натуральных чисел k, n, удовлетворяющих условию k<n, k> 1?

1. ...

2. ...

3. ...

4. Ckn = Cnn - k

5. C0n + C1n + ... + Ckn = 2n

Вопрос 2. При каком условии формула перекрытий принимает вид N" = N0 -C1kN1 + C2kN2 - ... + (-1)kCkkNk?

1. N0 = n(U)

2. N1 = N2 = ...N k

3. Если число эквивалентов пересечения любых r множеств Ny зависит только от числа r(1 ≤ r ≤ k)

4. n(A1ÇA2Ç...A k) = Nk

5. при

Вопрос 3. Рассмотрим передачу двоичных кодовых сообщений фиксированной длины. При каком условии можно правильно восстановить сообщение, если известно, что ошибка допущена в одном разряде?

1. Если расстояние между ближайшими кодовыми словами не превосходит 2

2. Если расстояние между ближайшими кодовыми словами не менее 3

3. Если длина передаваемого слова нечетна

4. Если сумма единиц в этом сообщении четна

5. Если вместе со словом будет передана контрольная сумма его единичных разрядов

Вопрос 4. Что означает запись n(Ak) в формуле перекрытий?

1. Мощность множества A k

2. n-й элемент множества A k

3. Множество элементов N" в U, не принадлежащих A k

4. Мощность множества элементов в U, не принадлежащих A k

5. Число слагаемых в формуле перекрытий

Вопрос 5. В студенческой группе всего 45 студентов. Из них в футбольной секции занимаются 31 человек, в шахматной - 28, в баскетбольной - 30. Одновременно в футбольной и шахматной секциях занимаются 20 студентов этой группы, в баскетбольной и футбольной - 22 студента, в шахматной и баскетбольной - 18 студентов. Кроме того известно, что 12 студентов этой группы занимаются одновременно в трех упомянутых секциях. Сколько студентов группы не занимается ни в одной из упомянутых секций?

1. 1

2. 2

3. 3

4. 4

5. 5

Задание 11

Вопрос 1. Укажите математическую модель для задачи: Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основного сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производства 1 т карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида.

Вид сырья Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели Общее количество сырья (т)

А В С

Сахарный песок 0.8 0.5 0.6 800

Патока 0.4 0.4 0.3 600

Фруктовое пюре - 0.1 0.1 120

Прибыль от реализации 1 т продукции (руб) 108 112 126

Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

1. Найти минимум функции F = - 108XA-112XB - 126 XC при условиях:

08.XA + 0.5XB + 0.6XC ≤ 800

0.4X A + 0.4XB + 0.3XC ≤ 600

0.1XB+ 0.1XC≤ 120

XA ≥ 0; XB ≥ 0; XC ≥ 0

2. Найти максимум функции F = 108XA + 112XB + 126XCпри условиях:

08.XA + 0.5XB + 0.6XC ≤ 800

0.4X A + 0.4XB + 0.3XC ≤ 600

0.1XB+ 0.1XC≤ 120

XA ≥ 0; XB ≥ 0; XC ≥ 0

3. Найти минимум функции F = 0.8XA + XB+ 0.3XC при условиях:

0.4X A + 0.4XB + 0.3XC ≥ 600

0.1XB+ 0.1XC≥ 120

XA ≥ 0; XB ≥ 0; XC ≥ 0

4. Найти максимум функции F = XA + XB + XCпри условиях:

08.XA + 0.5XB + 0.6XC ≥ 800

0.4X A + 0.4XB + 0.3XC ≥ 600

0.1XB+ 0.1XC≥ 120

XA ≥ 0; XB ≥ 0; XC ≥ 0

5. Найти максимум функции F = 800 XA + 600 XB + 120 XC при условиях:

08.X A + 0.4XB ≤108

0.5X A + 0.4XB + 0.1XC ≤ 112

0.6X A + 0.3XB + 0.1XC ≤ 126

XA ≥ 0; XB ≥ 0; XC ≥ 0

Вопрос 2. Укажите математическую модель для задачи: При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в следующей таблице: Питательные вещества Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма вида

I II III

А 1 3 4

В 2 4 2

С 1 4 3

Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 копеек, корма II вида - 12 копеек и корма III вида - 10 копеек.

1. Найти максимум функции F = x1 + x2 + x3 при условиях:

x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 60

2x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 50

x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 12

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

2. Найти минимум функции F = 9x1 + 12x2 + 10x3при условиях:

x1 + 3x2 + 4x3 ≥60

2x1 + 4x2 + 2x3 ≥ 50

x1 + 4x2 + 3x3 ≥ 12

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

3. Найти минимум функции F = 9x1 + 12x2 + 10x3 при условиях:

x1 + 3x2 + 4x3 = 60

2x1 + 4x2 + 2x3 = 50

x1 + 4x2 + 3x3 = 12

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

4. Найти максимум функции F = 60x1 + 50x2 + 12x3 при условиях:

x1 + 2x2 + x3 ≤ 9

3x1 + 4x2 + 4x3 ≤12

4x1 + 2x2 + 3x3≤ 10

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

5. Найти минимум функции F = 9x1 + 12x2 + 10x3 при условиях:

x1 + 3x2 + 4x3 ≤ 60

2x1 + 4x2 + 2x3 ≤50

x1 + 4x2 + 3x3 ≤ 12

x1 ≥ 0; x2 ≥ 0; x3 ≥ 0

Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи: В трех пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 420, 380, 400 т. Этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах, соответственно равных 260, 520, 420 т. Стоимости перевозок 1 т груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны и задаются матрицей (в условных единицах): ..., где

Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок.

1. Найти минимум функции при условиях:

x 1 + x 2 + x3 = 260

x 4 + x 5 + x6 = 520

x 7 + x 8 + x 9 = 420

x 1 + x 4 + x 7 = 420

x 2 + x 5 + x 8 = 380

x 3 + x 6 + x 9 = 400

x k ≥ 0 (k = 1`,9)

2. Найти минимум функции F = 2 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 7 x4 + 5 x5 + 8x6 + 6 x7 + 9 x8 + 7 x9 при условиях:

x 1 + x 2 + x3 = 260

x 4 + x 5 + x6 = 520

x 7 + x 8 + x 9 = 420

x 1 + x 4 + x 7 ≤ 420

x 2 + x 5 + x 8 ≤ 380

x 3 + x 6 + x 9 ≤ 400

x k ≥ 0 x2 ≥ 0 ,..., x9 ≥ 0.

3. Найти минимум функции F = 2 x1 + 7 x2 + 6 x3 + 4 x4 + 5 x5 + 9x6 + 3 x7 + 8 x8 + 7 x9 при условиях:

x 1 + x 2 + x3 = 260

x 4 + x 5 + x6 = 520

x 7 + x 8 + x 9 = 420

x 1 + x 4 + x 7 ≤ 420

x 2 + x 5 + x 8 ≤ 380

x 3 + x 6 + x 9 ≤ 400

x k ≥ 0 x2 ≥ 0 ,..., x9 ≥ 0.

4. Найти минимум функции F = 2 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 7 x4 + 5 x5 + 8x6 + 6 x7 + 9 x8 + 7 x9 при условиях:

x 1 + x 2 + x3 ≤ 260

x 4 + x 5 + x6≤520

x 7 + x 8 + x 9 ≤ 420

x 1 + x 4 + x 7 ≤ 420

x 2 + x 5 + x 8 ≤ 380

x 3 + x 6 + x 9 ≤ 400

x 1 ≥ 0 x2 ≥ 0 ,..., x9 ≥ 0.

5. Найти минимум функции F = 2 x1 + 4 x2 + 3 x3 + 7 x4 + 5 x5 + 8x6 + 6 x7 + 9 x8 + 7 x9 при условиях:

x 1 + x 2 + x3 = 420

x 4 + x 5 + x6 = 380

x 7 + x 8 + x 9 = 400

x 1 + x 4 + x 7 = 260

x 2 + x 5 + x 8 = 520

x 3 + x 6 + x 9 = 420

x 1 ≥ 0, x2 ≥ 0 ,..., x9 ≥ 0.

Вопрос 4. Укажите неэквивалентную форму записи для задачи:

1. F = 2x1 + x2 - x3 ® min

2x1 - x2 + 6x3 ≤ 12;

3x1 + 5x2 -12x3 = 14

-3x1 + 6x2 +4x3 ≤ 18

x1, x2 ,x3 ≥ 0

2. F = -2x1 - x2 + x3 ® min

- 2x1 + x2 - 6x3 ≥ - 12;

3x1 + 5x2 -12x3 = 14

3x1 - 6x2 - 4x3 ≥ -18

x1, x2 ,x3 ≥ 0

3. F = - 2x1 - x2 + x3 ® min

2x1 - x2 + 6x3 + x4 = 12;

3x1 + 5x2 -12x3 = 14

-3x1 + 6x2 + 4x3 + x5 =18

x1, x2 ,...,x5 ≥ 0

4. F = 2x1 + x2 - x3 ® min

2x1 - x2 + 6x3 ≤ 12;

3x1 + 5x2 -12x3 ≤ 14

- 3x1 - 5x2 + 12x3 ≤ - 14

-3x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 18

x1, x2 ,x3 ≥ 0

5. F = - 2x1 - x2 + x3 ® min

2x1 - x2 + 6x3 ≤ 12;

3x1 + 5x2 -12x3 ≤ 14

-3x1 - 5x2 + 12x3 ≥ - 14

-3x1 + 6x2 + 4x3 ≤ 18

x1, x2 ,x3 ≥ 0

Вопрос 5. Укажите стандартную форму записи для задачи

F = - 2x1 + x2 + 5x3 ® min

4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 12;

6x1 - 3x2 +4x3 = 18

3x1 + 3x2 - 2x3 ≥ 16

x1, x2 ,x3 ≥ 0

1. F =2x1 - x2 -5x3 ® min

4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 12;

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18

3x1 + 3x2 - 2x3 ≥ 16

x1, x2 ,x3 ≥ 0

2. F = -2x1 + x2 +5x3 ® min

4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 12;

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18

-3x1 - 3x2 + 2x3 ≤ - 16

x1, x2 ,x3 ≥ 0

3. F = -2x1 + x2 +5x3 ® min

4x1 + 2x2 + 5x3 ≤ 12;

6x1 - 3x2 + 4x3 ≤18

-6x1 + 3x2 - 4x3 ≤ - 18

-3x1 - 3x2 + 2x3 ≤- 16

x1, x2 ,x3 ≥ 0

4. F = -2x1 + x2 +5x3 ® min

4x1 + 2x2 + 5x3 + x4 = 12;

6x1 - 3x2 + 4x3 = 18

3x1 + 3x2 - 2x3 - x5 = 16

x1, x2 ,x3 x4, x5 ≥ 0

5. F = 2x1 - x2 -5x3 ® min

-4x1 - 2x2 - 5x3 ≥12;

6x1 - 3x 2 - 4x3 ≥ 18

-6x1 + 3x 2 + 4x3 ≥-18

3x1 + 3x2 - 2x3 ≥ 16

x1, x2 ,x3 x4, x5 ≥ 0

Задание 12

Вопрос 1. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего максимум целевой функции F.

Вопрос 2. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего минимум целевой функции F.

Вопрос 3. Указать эквивалентную форму записи задачи, допускающую геометрическую интерпретацию решений в виде многоугольника: F = - 16x1 - x2 + x3 + 5x4 + 5x5®max

2x1 + x2 + x3 + = 10

- 2x1 + 3x2 + x4 = 6

2x1 + 4x2 - x5 = 8

X1, x2, x3, x4, x5 ≥ 0

1. F = - 16x1 - x2® max

2x1 + x2 ≤ 10

- 2x1 + 3x2 ≤ 6

2x1 + 4x2 ≥ 8

x1, x2 ≥ 0

2. F = - 16x1+ 19x2 + x3 + 5x4 ® max

2x1 + x2 + x3 = 10

- 2x1 + 3x2 + x4 = 6

2x1 + 4x2 ≥ 8

x1, x2, x3,x4 ≥ 0

3. F = - 8x1+ 18x2 + 5x4 ® max

2x1 + x2 ≤10

- 2x1 + 3x2 + x4 = 6

2x1 + 4x2 ≥ 8

x1, x2,x4 ≥ 0

4. F = - 16x1-x2 + x3 + 5x4 + 5x5 ® max

2x1 + x2 + x3 ≤10

- 2x1 + 3x2 + x4 ≤ 6

2x1 + 4x2 - x5 ≤ 8

x1, x2, x3,x4, x5 ≥ 0

5. F = 2x1+3x2 ® max

2x1 + x2 ≤10

- 2x1 + 3x2 ≤ 6

2x1 + 4x2 ≥ 8

x1, x2, ≥ 0

Вопрос 4. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи:

F = x1+x2 ® max

x1 + 2x2 ≤14

- 5x1 + 3x2 ≤ 15

4x1 + 6x2 ≥ 24

x1, x2, ≥ 0

1. Fmax = 12 при x*1 = 10, x*2 = 2

2. F max = 10 при x*1 = 8, x2* = 2

3. F max = 11 при x*1 = 10, x2* = 1

4. F max = 15 при x*1 =7, x2* = 8

5. F max = 14 при x*1 = 14, x2* = 0

Вопрос 5. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи:

F =- 2x1+x2 ® max

3x1 - 2x2 ≤12

- x1 + 2x2 ≤ 8

2x1 + 3x2 ≥ 6

x1, x2, ≥ 0

1. Fmax = - 10 при x*1 = 5, x*2 = 0

2. Fmax = 132 при x*1 = 10, x*2 = 8

3. Fmax = - 15 при x*1 = 8, x*2 = 1

4. Fmax = - 11 при x*1 = 10, x*2 = 9

5. Fmax = - 9 при x*1 = 5, x*2 =1

Задание 13

Вопрос 1. Указать максимальное значение целевой функции для задачи: F = 3x1 + 2x5 - 5x6®max

2x1 + x2 - 3x5 + 5x6 = 34

4x1 + x3 + 2x5 - 4x6 = 28

- 3x1 + x4 - 3x5 + 6x6 = 24

x1, x2,..., x6 ≥ 0

1. Fmax = 28

2. Fmax =30

3. Fmax = 26

4. Fmax = 20

5. Fmax = 34

Вопрос 2. Указать решение задачи:

F = ¯3x1 + 2x3 - 6x6`® max

2x1 + x2 - 3x3 + 6x6 = 18

- 3x1 + 2x3 + x4 - 2x6 =24

x1 + 3x3 + x5 - 4x6 = 36

x j ≥ 0 (j =1,¯6)

1. x * = (12; 3; 0; 18; 30; - 18)

2. x * = (19; 0; 0; 51; 27; 0)

3. x * = (10; 22; 8; 3; 8; 2)

4. x * = (18; 0; 6; 66; 0; 0)

5. x * = (36; 0;24; 90; - 60; 3)

Вопрос 3. Указать решение задачи:

F = 2x1 + 3x2 -x4 ® max

2x1 -x2 - 2x4 + x5 = 16

3x1 + 2x2 + x3 - 3x4 =18

- x1 + 3x2 + 4x4 + x6 = 24

x j ≥ 0 (j =1,¯6)

1. x * = (1; 6; 6; 1; 22;3)

2. x * = (5; 0;9; 2; 10;21)

3.

4. x * = (1; 7; 1; 0; 21;4)

5. x * = (0;8;2; 0; 24;0)

Вопрос 4. Указать решение задачи:

F = 8x2 + 7x4 +x6 ® max

x1 -2x2 - 3x4 - 2x6 = 12

4x2 + x3 - 4x4 - 3x6 =12

5 x2 + 5x4 + x5 + x6 = 25

x j ≥ 0 (j =1,¯6)

1. x * = (32; 2; 27; 2; 0;5)

2. x * = (24; 3; 8; 2; 0; 0)

3. x * = (25; 1; 23; 3; 4; 1)

4. x * = (23; 4; 0; 1; 0;0)

5. x * = (62; 0;87; 0; 0;25)

Вопрос 5. Указать решение задачи:

F = 2x1 + x2 - x3 ® max

x1 + x2 + x3 = 5

2x1 + 3x2 + x4 = 13

xf ≥ 0 (f = 1,¯4)

1. x * = (5; 0; 0; 3;), Fmax = 10

2. x * = (1; 2; 2; 5;), Fmax = 11

3. x * = (6; 0; - 1; 1;), Fmax = 13

4. x * = (0; 5; 0; - 2;), Fmax = 10

5. x * = (3; 1; 1; 4;), Fmax =6

Задание 14

Вопрос 1. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче:

F = x1 -2x2+ 5x1 ® max

2x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 18

2x1 + x2 - 3x3 ≤ 20

5x1 - 3x2 + 6x3 ≥ 19

x1, x2, x3 ≥

1. F* = y1 - 2y2 +5y3 ® min 2y1 + 2y2 + 5y3 ≥ 18

2y1 + y2 - 3y3 ≥ 20

4y1 - 3y2 + 6y3 ≥ 19

y1, y2, y3 ≥ 0

2. F* = 18y1 - 20y2 -19y3 ® min 2y1 + 2y2 + 5y3 ≥ 1

2y1 + y2 + 3y3 ≥ - 2

4y1 - 3y2 - 6y3 ≥ 5

y1, y2, y3 ≥ 0

3. F* = 18 y1 + 20y2 +19y3 ® min 2y1 + 2y2 + 5y3 ≤ 1

2y1 + y2 - 3y3 ≤ - 2

4y1 - 3y2 + 6y3 ≥ 5

y1, y2, y3 ≥ 0

4. F* = 18 y1 + 20y2 -19y3 ® min 2y1 + 2y2 + 5y3 ≥ 1

2y1 + y2 - 3y3 ≥ - 2

4y1 - 3y2 + 6y3 ≥ 5

y1, y2, y3 ≥ 0

5. F* = y1 - 2y2 + 5x1 ® min 2y1 + 2y2 + 4y3 ≥ 18

2y1 + y2 - 3y3 ≥ 20

5y1 - 3y2 + 6y3 ≥ 19

y1, y2, y3 ≥ 0

Вопрос 2. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче:

F = 3x1 + 3x2 - 4x3 ® max

2x1 + x2 - 3x3 ≥ 18

4x1 - 5x3 ≤12

3x1 - 2x2 + x3 ≥ 14

x1, x2, x3 ≥ 0

1. F* = 3y1 + 3y2 - 4y3 ® min

2y1 + y2 - 3y3 ≥ 18

4y1 - 5y3 ≥ 12

3y1 - 2y2 +y3 ≥ 14

y1, y2, y3 ≥ 0

2. F* = 3y1 + 3y2 - 4y3 ® min

2y1 + 4y2 + 3y3 ≥ 18

y1 - y2 - 2y3 ≤ 12

- 3y1 - 5y2 + y3 ≥ 14

y1, y2, y3 ≥ 0

3. F* = 18y1 + 12y2 + 14y3 ® min

2y1 + 4y2 + 3y3 ≥ 3

y1 - y2 - 2y3 ≥ 3

- 3y1 - 5y2 + y3 ≥ - 4

y1, y2, y3 ≥ 0

4. F* = 18y1 + 12y2 - 14y3 ® min

- 2y1 + 4y2 -3y3 ≥ 3

- y1 + 2y3 - 2y3 ≥ 3

3y1 - 5y2 - y3 ≥ - 4

y1, y2, y3 ≥ 0

5. F* = 18y1 + 12y2 + 14y3 ® min

2y1 + 4y2 + 3y3 ≥ 3

y1 - 2y3 ≤ 3

- 3y1 - 5y2 + y3 ≥ - 4

y1, y2, y3 ≥ 0

Вопрос 3. Какая из задач является двойственной по отношению к задаче:

F = - 3x1 + 4x2 - 6x3 ® max

2x1 + 3x2 - x3 ≥ 8

-3x1 + 2x2 - 2x3 = 10

5x1 - 4x2 + x3 ≥ 7

x1, x2, x3 ≥ 0

1. F* = -3y1 + 4y2 - 6y3 ® min

2y1 + 3y2 - y3 ≥ 8

- 3y1 + 2y2 - 2y3 ≥ 10

5y1 - 4y2 + y3 ≥ 7

y1, y2, y3 ≥ 0

2. F* = -3y1 + 4y2 - 6y3 ® min

2y1 - 3y2 +5y3 ≥ 8

3y1 + 2y2 - 4y3 ≥ 10

-y1 - 2y2 + y3 ≥ 7

y1, y2, y3 ≥ 0

3. F* = 8y1 + 10y2 + 7y3 ® min

2y1 + 3y2 - y3 ≥ - 3

- 3y1 + 2y2 - 2y3 ≥ 4

5y1 - 4y2 + y3 ≥ - 6

y1, y2, y3 ≥ 0

4. F* = 8y1 + 10y2 + 7y3 ® min

2y1 - 3y2 + 5y3 ≤ - 3

3y1 + 2y2 - 4y3 ≤ 4

-y1 - 2y2 + y3 ≤ - 6

y1, y2, y3 ≥ 0

5. F* = 8y1 + 10y2 + 7y3 ® min

2y1 + 3y2 - y3 ≥- 3

- 3y1 + 2y2 - 2y3 ≥ 4

5y1 - 4y2 + y3 ≥ - 6

y1, y2, y3 ≥ 0

Вопрос 4. Исходная задача линейного программирования имеет оптимальный план со значением целевой функции Fmax = 10. Какое из чисел является значением целевой функции F*minдвойственной задачи?

1.

2. 5

3. 10

4. 20

5. ...

Вопрос 5. Геометрическая интерпретация решения исходной задачи линейного программирования, состоящей в максимизации целевой функции, приведена на рисунке:

Укажите решение двойственной задачи линейного программирования.

1. x* = (0;2)

2. x* = (2; 0)

3. x* = (28; 1; 0; 0)

4. x* - пустоемножество

5. x * = (2; 0; 0; 5)

Задание 15

Вопрос 1. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи:

F = - 4x1 - 7x2 - 8x3 - 5x4 ® max

x1 + x2 + 2x4 ≥ 4

2x1 + x2 + 2x3 ≥ 6

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

1. ... при

2. ... при

3. ... F max = 23 при x * = ( 5; 1; - 2)

4. ... при

5. F max = -36 при x * = ( 2; 0; 1; 2)

Вопрос 2. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи:

F = 5x1 + 6x2 +x3 + x4 ® min

1.5 x1 + 3x2 - x3 + x4 ≥ 18

3x1 + 2x3 - 4x4 ≥ 24

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

1. ...

2. ... при

3. Fmin = 52 при x* = (8; 2; 0; 0)

4. Fmin = 52 при x* = (2; 7; 3; - 3)

5. Fmin = 32 при x* = (8; 4; 12; 6)

Вопрос 3. Используя двойственный симплекс метод, найдите решение задачи:

F = x1 + 3x2 +4x3 + 2x4 ® min

x1 - x2 + 4x3 + 5x4 ≥ 27

2x1 + 3x2 - x3 + 4x4 ≥ 24

x1, x2, x3, x4 ≥ 0

1. Fmin = 21 при x* = (0; 3; 0; 6)

2. Fmin =53 при x* = (5; 8; 5; 2)

3. Fmin = 59 при x* = (28; 1; 0; 0)

4. Fmin = 12 при x* = (2; 0; 0; 5)

5. Fmin = 11 при x* = (1; 0; 0; 6)

Вопрос 4. Укажите математическую модель для транспортной задачи. На трех складах оптовой базы сосредоточен однородный груз в количествах 160, 60, 80 единиц. Этот груз необходимо перевезти в четыре магазина. Каждый из магазинов должен получить соответственно 120, 40, 60 и 80 единиц груза. Тарифы перевозок единицы груза из каждого из складов во все магазины задаются матрицей ... Составить такой план перевозок, при котором общая стоимость перевозок является минимальной.

1. F = 2x11 + 3x12 + 4x13 + 3x14 + 5x21 + 3x22 + x23 +2x24 + 2x31 + x32 + 4x33 + 2x34 ® min

x11 + x12 + x13 + x14 = 160

x21 + x22 + x23 + x24 = 60

x31 + x32 + x33 + x34 = 80

x11 + x21 + x31 = 120

x12 + x22 + x32 = 40

x13 + x23 + x33 = 60

x14 + x24 + x34 = 80

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯4

2. F = 2x11 + 5x12 + 2x13 + 3x21 + 3x22 + x23 + 4x31 +x32 + 4x33 + 3x41 + 2x42 + 2x43 ® min

x11 + x12 + x13 + x14 = 160

x21 + x22 + x23 + x24 = 60

x31 + x32 + x33 + x34 = 80

x11 + x21 + x31 = 120

x12 + x22 + x32 = 40

x13 + x23 + x33 = 60

x14 + x24 + x34 = 80

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯4

3. F = 2x11 + 5x12 + 2x13 + 3x21 + 3x22 + x23 + 4x31 +x32 + 4x33 + 3x41 + 2x42 + 2x43 ® min

x11 + x21 + x31 + x41 ≤ 160

x12+ x22 + x32 + x42 ≤ 60

x13 + x23 + x33 + x34 ≤ 80

x11 + x12 + x13 ≤ 120

x21 + x22 + x23 ≤ 40

x31 + x32 + x33 ≤60

x41 + x42 + x43 ≤ 80

x if ≥ 0, i = 1,¯4, f = 1,¯3

4. F = 2x11 + 3x12 + 4x13 + 3x14 + 5x21 + 3x22 + x23 +2x24 + 2x31 + x32 + 4x33 + 2x34 ® min

x11 + x12 + x13 + x14 ≤ 160

x21+ x22 + x23 + x24 ≤ 60

x31 + x32 + x33 + x34 ≤ 80

x11 + x21 + x31 ≤ 120

x12 + x22 + x32 ≤ 40

x13 + x23 + x33 ≤60

x14 + x24 + x34 ≤ 80

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯4

5. F = 2x11 + 3x12 + 4x13 + 3x14 + 5x21 + 3x22 + x23 +2x24 + 2x31 + x32 + 4x33 + 2x34 ® min

x11 + x12 + x13 + x14 = 160

x21+ x22 + x23 + x24 = 60

x31 + x32 + x33 + x34 = 80

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯4

Вопрос 5.Укажите математическую модель для транспортной задачи. Три предприятия данного экономического района могут производить некоторую однородную продукцию в количествах, соответственно равных 180, 350 и 20 единиц. Эта продукция должна быть поставлена пяти потребителям в количествах, соответственно равных 110, 90, 120, 80 и 150 единиц. Затраты, связанные с производством и доставкой единицы продукции, задаются матрицей:

Составить такой план прикрепления потребителей к поставщикам, при котором общие затраты являются минимальными.

1. F = 7x11 + 12x12 + 4x13 + 6x14 + 5x15 + x21 + 8x22 +6x23 + 5x24 + 3x25 + 6x31 + 13x32 + 8x33 + 7x34 + 4x35 ® min

x11 + x12 + x13 + x14 + x15 ≤ 180

x21+ x22 + x23 + x24 + x25 ≤ 350

x31 + x32 + x33 + x34 + x35 ≤ 20

x11 + x21 + x31 ≤ 110

x12 + x22 + x32 ≤ 90

x13 + x23 + x33 ≤120

x14 + x24 + x34 ≤ 80

x15 + x25 + x35 ≤ 150

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯5

2. F = 7x11 + x12 + 6x13 + 12x14 + 8x22 +13 x23 + 4x31 +6x32 + 8x33 + 6x41 + 5x42 + 7x43 + 5x51 + 3x52 + 4x53 ® min

x11 + x21 + x31 + x41 + x51 ≤ 180

x12+ x22 + x32 + x42 + x52 ≤ 350

x13 + x23 + x33 + x43 + x53 ≤ 20

x11 + x12 + x13 ≤ 110

x21 + x22 + x23 ≤ 90

x31 + x32 + x33 ≤120

x41 + x42 + x43 ≤ 80

x51 + x52 + x53 ≤ 150

x if ≥ 0, i = 1,¯5, f = 1,¯3

3. F = 7x11 +12 x12 + 4x13 + 6x14 + 5x15 + x21 + 8x22 +6x23 + 5x24 + 3x25 + 6x31 + 13x32 + 8x33 + 7x34 + 4x35 ® min

x11 + x21 + x13 + x14 + x15 =180

x21+ x22 + x23 + x24 + x25 = 350

x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 20

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯5

4. F = 7x11 + x12 + 6x13 + 12x14 + 8x22 + 13 x23 + 4x31 + 6x32 + 8x33 + 6x41 + 5x42 + 7x43 + 5x51 + 3x52 + 4x53 ® min

x11 + x12 + x13 ≤ 110

x21 + x22 + x23 ≤ 90

x31 + x32 + x33 ≤120

x41 + x42 + x43 ≤ 80

x51 + x52 + x53 ≤ 150

x if ≥ 0, i = 1,¯5, f = 1,¯3

5. F = 7x11 + 12x12 + 4x13 + 6x14 + 5x15 + x21 + 8x22 +6x23 + 5x24 + 3x25 + 6x31 + 13x32 + 8x33 + 7x34 + 4x35 ® min

x11 + x12 + x13 + x14 + x15 = 180

x21+ x22 + x23 + x24 + x25 = 350

x31 + x32 + x33 + x34 + x35 = 20

x11 + x21 + x31 = 110

x12 + x22 + x32 = 90

x13 + x23 + x33 =120

x14 + x24 + x34 = 80

x15 + x25 + x35 = 150

x if ≥ 0, i = 1,¯3, f = 1,¯5

Задание 16

Вопрос 1. Укажите решение задачи целочисленного линейного программирования, обеспечивающее максимальное значение целевой функции. Геометрическая интерпретация задачи приведена на рисунке:

1. x * = (1; 5)

2. x * = (7; 3)

3. x * = (8; 3)

4. x * = (9; 1)

5. x * = (10;0)

Вопрос 2. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи:

3x1 + x2 ® min

- 4x1+ x2 ≤ 29

3x1 - x2 ≤ 15

5x1 + 2x2 ≥ 38

x1, x2 ≥ 0, x1, x2 -целые

1. Fmin=29

2. Fmin=22

3. Fmin=12

4. Fmin=19

5. Fmin=18

Вопрос 3. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи:

5x1 + 7x2 ® min

- 3x1 + 14x2 ≤ 78

5x1 - 6x2 ≤ 26

x1 + 4x2 ≥ 25

x1, x2, ≥ 0, x1, x2 - целые

1. Fmin=80

2. Fmin=60

3. Fmin=45

4. Fmin=25

5. Fmin=52

Вопрос 4. Используя метод Гомори, найдите максимальное значение функции: F(x) = 4x1 + 5x2 + x3, при условиях:

3x1 + 3x2 + x3 = 13

3x1 + 2x2 + x4 = 10

x1 + 4x2 + x5 = 11

xi Î N

1) F(x) = 19, при х = (2,2,1,0,1);

2) F(x) = 25, при х = (2,2,1,0,1);

3) F(x) = 19, при х = (2,2,1,0,0);

4) F(x) = 25, при х = (5,1,0,0,0);

5) F(x) = 10, при х = (1,1,1,0,1).

Вопрос 5. Выбрать математическую модель для решения задачи: В аэропорту для перевозки пассажиров по n маршрутов может быть использовано m типов самолетов. Вместимость самолета i-го типа равна aiчеловек, а количество пассажиров, перевозимых по j-му маршруту за сезон, составляет bf человек. Затраты, связанные с использованием самолета i-го типа на j-м маршруте, составляют Cif руб. Определить для каждого типа самолетов сколько рейсов и на каком маршруте должно быть сделано, чтобы потребность в перевозках была удовлетворена при наименьших общих затратах.

1. при условиях

2. при условиях

3. при условиях

4. при условиях

5. при условиях

Задание 17

Вопрос 1. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции:

F = x1x2 при условиях

6x1 + 4x2 ≥ 12

2x1 + 3x2 ≤ 24

- 3x1 + 4x2 ≤ 12

x1,x2 ≥ 0

1. Fmax = 24

2. Fmax = 24.94

3. Fmax = 23.1

4. Fmax = 42

5. Fmax = 22.5

Вопрос 2. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции:

F = 4x1 + 3x2при условиях

X12 - 2x1 + x22 - 2x2 -34 ≤ 0

X1 ≥ 1

X2 ≥ 2

1. Fmax = 36.9

2. Fmax = 41.8

3. Fmax = 36

4. Fmax = 37

5. Fmax = 38.2

Вопрос 3. Укажите математическую модель для задачи: Между n предприятиями отрасли необходимо распределить выпуск некоторой однородной продукции. Затраты, связанные с производством единиц продукции на j-м предприятии, зависят от объема производства и определяются функциями fj (xi). Зная, что продукции должно быть изготовлено не менее b единиц, составить такой план производства продукции предприятиями отрасли, при котором общие затраты, связанные с ее производством, минимальны.

Вопрос 4. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции: f = x12 + x22 + x3 при условиях

x1 + x2 + x3 = 4

2x1 - 3x2 = 12

3. f min = 16.75

4. f min = 34

5. f min = 58

Вопрос 5. Используя метод множителей Лагранжа, укажите экстремум функции:

f = x1x2 + x2x3

x1 + x2 = 4

x2 + x3 = 4

1. f min =0

2. f max = 90

3. f max =8

4. f max = 7.5

5. f min = -280

Задание 18

Вопрос 1. Укажите формулировку задачи в терминах общей задачи динамического программирования:

1. Найти максимум функции при условиях

2. Найти минимум функции при условиях

3. Найти минимум функции при условиях

4. Выбрать такую стратегию управления U* = (u1* ,u*2 ,...,u*n) чтобы обеспечить максимум функции

5. Найти максимум функции

Вопрос 2. К какому типу задач относится задача вида: при условиях

1. Задача линейного программирования

2. Задача динамического программирования

3. Задача нелинейного программирования

4. Транспортная задача

5. Целочисленная задача линейного программирования

Вопрос 3. Укажите выражение, представляющее основное функциональное уравнение Беллмана или рекуррентное соотношение:

Вопрос 4. Как получить оптимальную стратегию управления методом динамического программирования?

1. В один этап

2. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на 2-м и т.д. вплоть до последнего n-го шага

3. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на двух первых шагах, затем на трех первых шагах и т.д., включая последний n-й шаг.

4. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на (n-1)-м, затем на (n-2)-м и т.д. вплоть до 1-го шага.

5. В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на 2-х последних шагах, затем на 3-х последних и т.д. вплоть до первого шага.

Вопрос 5. Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи: В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставками. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k-го года выделяется ai(k) тыс. руб., найти такой вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли.

ТЕСТ

Задание 1

Вопрос 1. Каким событием согласно терминологии теории вероятностей является попадание в мишень при выстреле в тире?

1. Достоверным событием.

2. Возможным событием.

3. Событием совместимым с событием А, если событие А состоит в непопадании в мишень.

4. Событием противоположным событию А, если событие А состоит в попадании в мишень.

5. Неслучайным событием.

Вопрос 2. Предположим, что событие А при проведении k испытаний имело место s раз. Какова абсолютная частота появления события А?

Вопрос 3. При шести бросаниях игральной кости (кубика с цифрами от 1 до 6 на гранях) цифра 5 выпала 2 раза, цифра 4 выпала 2 раза, а цифры 3 и 2 выпали по 1 разу каждая. Какова по результатам этого наблюдения частость (относительная частота) события, состоящего в выпадании цифры 3 или цифры 4?

Вопрос 4. Каково статистическое определение вероятности?

1. Вероятностью события А называется отношение числа исходов, благоприятствующих событию А, к общему числу испытаний в серии наблюдений.

2. Вероятностью называют устойчивую частоту появления события.

3. Вероятностью называют постоянную величину, около которой группируются наблюдаемые значения частости.

4. Вероятностью называют среднее арифметическое частости появления события при проведении серии одинаковых испытаний.

5. Вероятностью называют отношение числа благоприятствующих исходов к числу всех равновозможных исходов.

Вопрос 5. Какое событие является достоверным?

1. Событие, которому благоприятствуют более половины из единственно возможных исходов испытания.

2. Выпадание положительного числа при бросании игральной кости.

3. Извлечение вслепую белого шара из урны, в которой находятся одинаковые, за исключением цвета, белые и черные шары.

4. Падение бутерброда маслом вверх.

5. Выпадание разных цифр при двух бросаниях игральной кости.

Задание 2

Вопрос 1. В каком случае система событий E1, E2,..., Enназывается полной?

1. Если сумма вероятностей этих событий равна единице.

2. Если события E1, E2,..., Enнесовместимы и равновозможны.

3. Если произведение вероятностей этих событий равно единице.

4. Если события E1, E2,..., En являются несовместимыми и единственно возможными.

5. Если сумма вероятностей этих событий превышает единицу, а сами события являются совместимы.

Вопрос 2. Допустим, что при некотором испытании возможны события А и В, вероятность события А P(A) = p, вероятность несовместимого с А события B P(B) = - p. Какое из приведенных ниже высказываний не всегда будет истиной?

1. Событие А является противоположным событию В.

2. Событие В является противоположным событию А.

3. Если события А и В являются единственно возможными, то система событий А, В является полной.

4. События А и В - равновозможные.

5. Событие, которому благоприятствуют А и В, является достоверным.

Вопрос 3. Какова вероятность того, что при трех бросаниях игральной кости три раза выпадает цифра 3?

Вопрос 4. Из урны, в которой 4 белых шара и 3 черных, случайным образом извлекают два шара. (Шар после извлечения не возвращают в урну). Шары в урне различаются только цветом. Какова вероятность того, что первым будет извлечен черный шар, а вторым - белый?

Вопрос 5. При попадании в мишень пули, она опрокидывается. Допустим, что о стрелке А известно, что он попадает в мишень с вероятностью , о стрелке В известно, что он попадает в мишень с вероятностью , а о стрелке С известно, что он попадает в мишень с вероятностью . Стрелки А, В, С одновременно выстрелили в мишень. Какова вероятность того, что мишень опрокинется?

Задание 3

Вопрос 1. Что выражает формула Бернули?

1. Теорему сложения вероятностей.

2. Вероятность появления события r раз при k независимых испытаниях (k > r > 0).

3. Вероятность появления события А в двух независимых испытаниях.

4. Вероятность появления двух совместных событий при одном испытании.

5. Условную вероятность единственно возможного события.

Вопрос 2. Какова вероятность того, что 4 раза извлекая из урны, с завязанными глазами, шар, мы ровно 2 раза извлечем белый, если в урне 6 белых шаров и 4 черных, и после каждого извлечения шар возвращается в урну?

1. 0.36х0.96.

2. 0.5.

3. 0.1.

4. 0.36.

5. 0.16.

Вопрос 3. Для определения какой величины служит формула Байеса?

1. Для определения вероятности события A2, противоположного событию Е.

2. Для определения полной вероятности события A2.

3. Для определения вероятности события A2при условии появления события Е.

4. Для определения вероятности появления события A2 или Е.

5. Для определения вероятности появления в ряду независимых испытаний события Е после события A2.

Вопрос 4. Стрелок попадает в цель с вероятностью 0.6. Каково для этого стрелка наиболее вероятное число попаданий в цель при 6 выстрелах?

1. 2.

2. 3.

3. 4.

4. 5.

5. 6.

Вопрос 5. Вероятность изготовления годного изделия автоматическим станком равна 0.9. Вероятность изготовления изделия первого сорта этим станком равна 0.8. Какова вероятность того, что случайно взятое из годных, изделие окажется первого сорта?

1. ...

2. 0.72.

3. 0.8.

4. 0.6.

5. 0.98.

Задание 4

Вопрос 1. Что называют кривой вероятностей?

1. График зависимости вероятности попадания в цель от расстояния до цели.

2. График функции ...

3. Ломанную кривую биноминального распределения.

4. График функции ...

5. График функции ...

Вопрос 2. Для чего применяется локальная теорема Лапласа?

1. Для приближенного определения вероятности появления события ровно m раз при n повторных независимых испытаниях.

2. Для отыскания максимума кривой вероятностей.

3. Для отыскания точки пересечения кривой вероятностей с осью Ox.

4. Для отыскания минимума кривой вероятностей.

5. Для статистического анализа результатов повторных независимых испытаний.

Вопрос 3. Как выглядит асимптотическая формула Пуассона?

1. P(a ≤ m ≤ b) = Pm1,n + Pm2,n + ...+ Pm1,n.

2. ...

3. ...

4. ...

5. ...

Вопрос 4. При каком условии допустимо использование асимптотической формулы Пуассона?

1. np - q ≤ m ≤ np + p

1. ...

2. ...

3. P(E1) + P(E2) + ...+ P(En) = 1

5. np ≤ 10

Вопрос 5. Пусть n - число независимых испытаний, в каждом из которых вероятность наступления события A равна p. Чему равен предел вероятности того, что число m появлений события A при n испытаниях удовлетворяет неравенству np + a√npq ≤ m ≤ np + β√npq, если n неограничено возрастает?

1. .., где .. = np.

2. ...

3. 1.

4. 0.

5. ...

Задание 5

Вопрос 1. В каком случае говорят, что дискретная случайная величина X, у которой k возможных значений, определена?

1. Если известен исход испытания, определяющего значение случайной величины X.

2. Если известны все k возможных значений случайной величины X.

3. Если известны (заданы) все возможные значения x1,x2,..., xkслучайной величины X и соответствующие вероятности P(xi) = pi.

4. Если заданы k значений вероятностей исхода испытания.

5. Если заданы минимальное и максимальное значения случайной величины X.

Вопрос 2. Что называют функцией распределения непрерывной случайной величины X?

1. Функцию ...

2. Функцию где - вероятность того, что случайная величина X равна x.

3. Функцию при где - вероятность того, что случайная величина X равна x.

4. Функцию где - вероятность того, что случайная величина X примет значение больше x.

5. Функцию , где - вероятность того, что случайная величина X примет значение не больше x.

Вопрос 3. Каким свойством не обладает интегральная функция распределения F(х)?

1. ...

2. ...

3. ...

4. ... - непрерывна.

5. ... - невозрастающая.

Вопрос 4. Чему равна плотность распределения вероятностей случайной величины X, удовлетворяющей условию a<X<bи равномерно распределенной на интервале (a, b), если a>0, b¹a?

Вопрос 5. График какой функции называют кривой распределения вероятностей непрерывной случайной величины X?

1. Интегральной функции распределения .

2. ..., где ...

3. ..., где - плотность распределения вероятностей случайной величины X.

4. Функции плотности распределения вероятностей.

5. ..., где ...

Задание 6

Вопрос 1. Каково среднее значение случайной величины, принимающей значение 1 с вероятностью 0.25 и значение 3 с вероятностью 0.75?

1. 2.

2. 1.25.

3. 1.5.

4. 2.5.

5. 1.75.

Вопрос 2. Чему равно математическое ожидание M(X+Y) суммы двух случайных величин X, Y?

1. M(X+Y) = M(X) × M(Y)

2. M(X+Y) = M(X) + M(Y)

Вопрос 3. В каком случае можно утверждать, что математическое ожидание M(X×Y) произведения двух случайных величин X и Y равно произведению их математических ожиданий M(X) ×M(Y)?

1. Если случайные величины X и Y - дискретные.

2. Если случайные величины X и Y - непрерывные.

3. Если плотность распределения - непрерывная функция.

4. Если количество значений, принимаемых случайной величиной X совпадает с количеством значений, принимаемых случайной величиной Y.

5. Если случайные величины X и Y - независимы.

Вопрос 4. Что называют дисперсией случайной величины?

1. Среднеквадратическое значение случайной величины.

2. Среднее значение отклонения случайной величины от 0.

3. Среднее значение отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

4. Среднее значение квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания.

5. Модуль максимального отклонения значения случайной величины от ее математического ожидания.

Вопрос 5. Чему равна дисперсия D(X+Y) суммы независимых случайных величин X и Y?

Задание 7

Вопрос 1. Каково среднее значение случайной величины, если плотность ее вероятности определяется формулой ...?

Вопрос 2. Как формулируется теорема Ляпунова?

1. Если плотность вероятности случайной величины определяется формулой , то это случайная величина подчиняется нормальному закону распределения.

2. При достаточном большом количестве n случайных величин Xi, отклонения которых от их математических ожиданий, так же, как и дисперсии, ограничены, сумма будет подчинена закону распределения, сколь угодно близкому к закону нормального.

3. С вероятностью, сколь угодно близкой к 1, можно утверждать, что при неограниченном возрастании числа n независимых испытаний частость появления наблюдаемого события как угодно мало отличается от его вероятности.

4. Если X - случайная величина, математическое ожидание которой , а ... - произвольное положительное число, то и ...

5. Если случайная величина X не принимает отрицательных значений и ... - произвольная положительная величина, то ..., где ... .

Вопрос 3. Какие два параметра однозначно определяют случайную величину, подчиненную нормальному закону распределения?

1. Среднее квадратическое отклонение и дисперсия.

2. Математическое ожидание и дисперсия.

3. ...

4. ...

5. Максимальное значение функции плотности вероятности и среднее квадратическое отклонение.

Вопрос 4. Рассмотрим непрерывную положительную случайную величину X с математическим ожиданием M(X) = 3. Что можно утверждать относительно вероятности P(X ≤ 4) на основании неравенства Маркова?

1. P(X ≤ 4) ≤ D(X)

2. P(X ≤ 4) > D(X)

3. P(X ≤ 4) ³ 0.25

4. P(X ≤ 4) > 0.75

5. P(X ≤ 4) ≤ 0.75

Вопрос 5. Рассмотрим случайную величину X, математическое ожидание которой равняется 0, а дисперсия - 10. Как оценивается P(|X| > 10), исходя из неравенства Чебышева?

1. P(|X| > 10) ³ 0.1

2. P(|X| > 10) < 1

3. P(|X| > 10) ³ 0.01.

4. P(|X| > 10) < 0.1.

5. P(|X| > 10) < 0.01

Задание 8

Вопрос 1. Пусть вероятность появления события А в отдельном испытании составляет 0.7 и мы подсчитываем число m появлений события А в n таких независимых испытаниях. При каком числе испытаний n вероятность выполнения неравенства превысит 0.9?

1. n=18.

2. n<142.

3. n³34.

4. n>24.

5. n³41.

Вопрос 2. Проверено 3000 патронов из всего их выпуска. При этом доля брака составила 0.15. Какова вероятность того, что отклонение доли брака в выборке от генеральной доли не превышает по абсолютной величине 0.01? (выборка повторная)

1. P = 0.53262

2. P = 0.87398

3. P = 0.80640

4. P = 0.72429

5. P = 0.57629

Вопрос 3. По данным выборки, представленным вариационным рядомx 1 2 5 8 9

Частоты 3 4 6 4 3

найти выборочную среднюю и выборочную дисперсию и выбрать правильный ответ.

Вопрос 4. Для каждой из 1500 независимых случайных величин дисперсия не превышает 3. Какова вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не превысит числа 0.4 по абсолютной величине? (Используйте теорему Чебышева)

1. P > 0.9925

2. P > 0.9875

3. P > 0.9233

4. P > 0.9548

5. P > 0.8732

Вопрос 5. По данным ОТК брак при выпуске деталей составляет 2.5%. Пользуясь теоремой Бернулли, ответьте на вопрос: какова вероятность того, что при просмотре партии из 8000 деталей будет установлено отклонение от средней доли брака менее 0.005?

1. P > 0.878125

2. P > 0.43512

3. P > 0.63285

4. P > 0.53485

5. P ³ 0.93248

Задание 9

Вопрос 1. При каком объеме выборки можно утверждать с надежностью P = 0.9545, что отклонение выборочной средней от генеральной не превысит предельной ошибки D=0.25 при повторной выборке, если дано s=1?

1. n=8.

2. n=64.

3. n=12.

4. n=16.

5. n=82.

Вопрос 2. Для данных выборочного наблюдения n=64 и Sn=1, каков будет доверительный интервал для оценки M(x) = aс надежностью P = 0.9973?

1. 36.035 ≤ a ≤ 36.785

2. 32.015 ≤ a ≤ 32.240

3. 36.16 ≤ a ≤ 36.66

4. 30.035 ≤ a ≤ 30.750

5. 33.15 ≤ a ≤ 33.45

Вопрос 3. Что означает большая теснота корреляционной зависимости величин x и y?

1. Наличие линейной корреляции между x и y.

2. Большую степень рассеяния значений y относительно линии регрессии.

3. Отсутствие функциональной зависимости между x и y.

4. Малую степень рассеяния значений y относительно линии регрессии.

5. Наличие точной корреляционной зависимости между x и y.

Вопрос 4. Что определяет уравнение регрессии y по x?

1. Функциональную зависимость y от среднего значения .

2. Плотность распределения переменной y.

3. Тесноту корреляционной зависимости y от x.

4. Зависимость частных средних значений y (при определенных x) от x.

5. Степень линейности зависимости между y и x.

Вопрос 5. По какому набору данных можно определить предельную ошибку выборки?

1. Объем выборки, выборочная средняя, заданная надежность.

2. Объем генеральной совокупности, выборочная средняя, объем выборки.

3. Заданная надежность, выборочная средняя, выборочная дисперсия.

4. Объем генеральной совокупности, заданная надежность, выборочная средняя, выборочная дисперсия.

5. Объем выборки, заданная надежность, выборочная дисперсия.

Задание 10

Вопрос 1. Какое из следующих утверждений неверно? Линейная функциональная зависимость между x и y имеет место при:

1. Слиянии прямых регрессии y по x и x по y.

2. Равенстве коэффициента корреляции .

3. Равенстве коэффициента корреляции 0.

4. Расположении частот значений x и y лишь на одной диагонали корреляционной таблицы.

5. Равенстве единице произведения коэффициентов прямых регрессии x по y и y по x.

Вопрос 2. Как выглядит график прямых регрессии при условии, что ?

Верный ответ 1.

Вопрос 3. Чему равен коэффициент корреляции двух случайных независимых величин x и y, если ?

1. 1.

2. 0.5.

3. - 0.5.

4. 0.

5. - 1.

Вопрос 4. Чему равен коэффициент корреляции r случайных величин x и y, полученный на основании следующей таблицы? y

x 3 4 5 6 7 8 9 10 nx

2 3 5 10 2 - - - - 20

3 4 5 8 5 2 1 - - 25

4 - 3 2 6 5 - 1 - 17

5 3 2 3 2 8 1 - - 19

6 - - - 2 2 3 2 1 10

ny 10 15 23 17 17 5 3 1 91

1. 0.82.

2. 0.54.

3. 0.21.

4. 0.03.

5. 0.99.

Вопрос 5. Чему равны коэффициенты регрессии и случайных величин x и y, представленных таблицей из вопроса 4?

1. 0.25 и 0.75.

2. 0.15 и 0.35.

3. 0.82 и 0.48.

4. 0.45 и 0.65.

5. 0.93 и 0.35.

Задание 11

Вопрос 1. При обследовании 11 учеников получены следующие данные о росте и весе:вес (кг)

рост (см) 24 25 26 27

125 1 - - -

126 1 2 - -

127 - 2 4 1

Чему равен коэффициент корреляции роста и веса учеников?

1. 0.23.

2. 0.98.

3. 0.15.

4. 0.35.

5. 0.67.

Вопрос 2. Какое из следующих утверждений, связывающих корреляционное отношение η и коэффициент корреляции r, неверно?

1. при точной линейной корреляционной связи y по x.

2. ...

3. ...

4. при точной линейной корреляционной связи x по y.

5. при точной линейной корреляционной связи и x по y и, y по x.

Вопрос 3. Данные статистической обработки сведений по двум показателям x и y отражены в корреляционной таблице.x

y 50 60 70 80 90

1 2 - - - -

2 - 1 - - -

3 - - 5 - -

4 - - - 3 -

5 - - - - 4

Чему равен коэффициент корреляции?

1. 0

2. 0.9

3. 1

4. 0.4

5. 0.5

Вопрос 4. На графике изображена прямая регрессии x по y.

Чему равен коэффициент регрессии ?

Вопрос 5. Какие преобразования нужно произвести, чтобы перейти от переменных x, y к переменным u, v, представленным в таблицах:x u y v

14 28

16 1 38 1

18 2 48 2

20 3 58 3

22 4 68 4

24 5 78 5

Задание 12

Вопрос 1. Что называют пространством выборок?

1. Генеральную совокупность (множество), которому принадлежат результаты наблюдений.

2. Числовую таблицу наблюдений случайной величины.

3. Множество значений вероятностей исхода испытания.

4. Множество рациональных чисел.

5. Множество действительных чисел, из которого выбран результат наблюдения.

Вопрос 2. Что такое статистическая гипотеза?

1. Предположение о распределении вероятностей или о некотором множестве распределений вероятностей.

2. Предположение о результате наблюдения.

3. Предположение о пространстве выборок.

4. Предположение, которое может быть строго доказано на основании анализа результатов конечного числа наблюдений (испытаний).

5. Суждение о правдоподобии статистических данных.

Вопрос 3. Какова роль уровня значимости e при проверке гипотез. Как он используется?

1. Если параметры двух событий отличаются на величину менее e, то события считаются одинаковыми (равными).

2. Событие считается практически невозможным, если его вероятность меньше e.

3. Если вероятность критического события А для гипотезы H превосходит e, то e называют гарантированным уровнем значимости критерия А для H.

4. Если вероятности двух событий отличаются меньше, чем на e, то события считают практически равновероятными.

5. Гипотеза H отвергается на уровне значимости e, если в эксперименте произошло событие A, вероятность которого при гипотезе H превосходит e.

Вопрос 4. Что называют ошибкой второго рода?

1. Погрешность вычисления математического ожидания.

2. Ошибку при выборе гарантированного уровня значимости.

3. Ошибку при формировании критического множества.

4. Отвержение гипотезы в случае, если она верна.

5. Принятие (неотвержение) гипотезы, если она неверна.

Вопрос 5. Какая схема является статистической моделью тройного теста (теста дегустатора)?

1. Схема алгоритма Евклида.

2. Схема Ферма.

3. Схема Пуассона.

4. Схема Бернулли.

5. Схема Блэза Паскаля.

Задание 13

Вопрос 1. Какова левосторонняя альтернатива гипотезы при тройном тесте?

Вопрос 2. Как определяется уровень значимости e для тройного теста, если разумная альтернатива к гипотезе H0 : p = p0 (P0 - фиксированное число) является двусторонней, т.е. H0 отвергается, если Sнабл ≤ y или Sнабл³x?

Вопрос 3. Для чего используется критерий знаков?

1. Для приближенного определения дисперсии.

2. Для проверки гипотезы о том, что некоторое число является медианой распределения случайной величины X.

3. Для приближенного определения медианы q случайной величины X.

4. Для проверки гипотезы о том, что случайное величина X имеет биномиальное распределение.

5. Для проверки гипотезы о значении дисперсии случайной величины , где x1,...,xN - результаты наблюдения случайной величины X с медианой q,

Вопрос 4. В каком случае говорят, что распределение G(x) принадлежит сдвиговому семейству распределений F, задаваемому распределением F(x)?

1. Если существует такая t0, что для любого x найдется F(x) = G(x - t0).

2. Если существует постоянная величина t0 такая, что для любого x выполняется G(x) = G0(x - t0).

3. Если медиана q, случайной величины X такая, что для любого x выполняется F(x) ³ G0(x - q). (F(x) - распределение случайной величины X, G0(x) - распределение случайной величины Y).

4. Если выполняется критерий знаков при медиане q.

5. Если у случайной величины X, задаваемой распределением G0(x), дисперсия численно равна дисперсии случайной величины Y, задаваемой распределением G(x).

Вопрос 5. Что такое статистика Манна-Уитни?

1. Ветвь математической статистики.

2. Случайная величина, равная числу выполняющихся неравенств вида xi< yi при , , где x1,...,xm и y1,...,yn две однородные выборки.

3. Результат проверки гипотезы H:F=G о совпадении законов распределений непрерывных случайных величин X, Y.

4. Таблица, используемая для приближенного определения наименьшего уровня значимости.

5. Любая функция, принадлежащая сдвиговому семейству, образованному гиперболическим распределением.

Задание 14

Вопрос 1. Рассмотрим выборку 9, 7, 7, 7, 1, 2, 8, 3. В какой строке записан ранг числа 7 в этой выборке?

1. 3.

2. 4.

3. ...

4. 5

5. 6.

Вопрос 2. Рассмотрим две независимые выборки x1,...,xm, y1,...,yn и ранги совокупности наблюдений S1,...,Sm+n. Что такое статистика Уилкоксона?

1. S1 + ... + Sm+n.

2. x1 +x2 + ... + xm

3. y1 +y2 + ... + yn

4. y1 + ... + yn + x1 + ... + xm

5. Сумма рангов одной из выборок.

Вопрос 3. Рассмотрим две независимые выборки по 6 элементов в каждой. Каково математическое ожидание статистики Уилкоксона при выполнении гипотезы об однородности выборок?

1. 39.

2. 38.

3. 37.

4. 35.

5. 43.

Вопрос 4. Которое из утверждений справедливо при отсутствии эффекта обработки для повторных парных наблюдений (x1, y1),..., (xn, yn) случайных величин X и Y независимо от их распределения?

1. P(xi> yi) > 0.5 для всех i=1,...,n.

2. P(xi< yi) > 0.5 для всех i=1,...,n.

3. P(xi> yi) =0.5 для всех i=1,...,n.

4. P(xi= yi) > 0.5 для всех i=1,...,n.

5. P(xn= yn) > 0.5

Вопрос 5. Какое условие необходимо для применения критерия знаковых ранговых сумм Уилкоксона?

1. Выполнение гипотезы о нулевом эффекте обработки.

2. P(xi< yi) =0.5 для всех i=1,...,n.

3. Случайные величины zi = yi- xi, где i=1,...,n непрерывны и одинаково распределены.

4. Случайные величины zi = yi- xi, где i=1,...,n, дискретны.

5. Случайные величины zi = yi- xi, где i=1,...,n, имеют разные распределения.

ТЕСТ

Задание 1

Вопрос 1. Где произошло рождение математики как науки?

1. в первобытном обществе;

2. в Египте и Вавилонии;

3. в Древней Греции;

4. в странах Азии и арабского мира;

5. в Древней Индии.

Вопрос 2. Какая книга по праву считается первым учебником по математике?

1. «Начала» Евклида;

2. «Ars Magna» Д. Кардано;

3. «Математические начала натурфилософии» И. Ньютона;

4. «Арифметика» Л. Ф. Магницкого;

5. «Исчисление песчинок» Архимеда.

Вопрос 3. Какое из чисел не является действительным?

1. 3;

2. -3;

3. √3;

4. √-3;

5. -√3.

Вопрос 4. Какое из чисел не является рациональным?

1. 2;

2. -2;

3. √2;

4. 1/2;

5. все числа являются рациональными.

Вопрос 5. Для чисел a и b найдите истинные высказывания, если а = 3,2712821..., b = 2,272727...

1. a ¹ b;

2. а - иррациональное число, b - рациональное число;

3. а и b принадлежат множеству действительных чисел;

4. а и b не являются мнимыми числами;

5. все предыдущие высказывания верны.

Задание 2

Вопрос 1. Как можно сформулировать основные направления математических исследований в общественных науках?

1. Исследования в части точного описания функционирования общественных систем и их частей и исследования влияния сознательного воздействия (управления) на функционирование социальных структур и течение социальных процессов;

2. Исследования в области экономики;

3. Исследования в области линейного программирования;

4. Исследования в области нелинейного программирования;

5. Исследования в области кибернетики.

Вопрос 2. Какое предположение лежит в основе использования матрицы коэффициентов выживаемости и рождаемости?

1. Предположение об отсутствии войн;

2. Предположение об отсутствии стихийных бедствий;

3. Предположение о неизменности выживаемости и рождаемости;

4. Предположение об однородной возрастной структуре;

5. Предположение о прекращении эпидемий на рассматриваемом временном интервале;

Вопрос 3. Как чаще всего целесообразно решать проблему, возникающую при необходимости учета дополнительных факторов в очень большой и сложной экономической модели?

1. Учесть в модели всю имеющуюся информацию;

2. Упростить модель, затем учесть дополнительные факторы;

3. Ввести в модель новые категории и зависимости;

4. Постараться выделить (разработать) подмодели, в которых будут учтены дополнительные факторы;

5. Разработать модель заново с учетом дополнительных факторов;

Вопрос 4. Какая из формулировок является определением?

1. Существуют по крайней мере две точки;

2. Каждый отрезок можно продолжить за каждый из его концов;

3. Два отрезка, равные одному и тому же отрезку, равны;

4. Прямой АВ называется фигура, являющаяся объединением всех отрезков, содержащих точки А и В;

5. Каждая прямая разбивает плоскость на две полуплоскости;

Вопрос 5. Найдите ложное утверждение: Два треугольника равны, если они имеют соответственно равные

1. три стороны;

2. сторону и два прилежащих угла;

3. две стороны и угол между ними;

4. три угла;

5. гипотенузу и катет.

Задание 3

Вопрос 1. Какое утверждение противоречит V постулату Евклида?

1. Сумма углов треугольника равна 180°;

2. Существуют подобные неравные треугольники;

3. Сумма углов всякого четырехугольника меньше 360°;

4. Множество точек, лежащих по одну сторону от данной прямой на одном и том же расстоянии от нее, есть прямая;

5. Две параллельные прямые при пересечении их третьей прямой образуют равные соответственные углы.

Вопрос 2. Какое из высказываний является аксиомой параллельности Лобачевского?

1. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны между собой;

2. Две прямые, перпендикулярные третьей прямой параллельны;

3. Прямые, не имеющие общих точек, называются параллельными;

4. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит единственная прямая, не пересекающая данную прямую;

5. Существует такая прямая а и такая, не лежащая на ней точка А, что через точку А проходит не меньше двух прямых, не пересекающих прямую а.

Вопрос 3. По равенству каких из заданных соответствующих элементов двух треугольников в геометрии Евклида делается вывод о подобии треугольников, а в геометрии Лобачевского - вывод о равенстве треугольников?

1. По трем сторонам;

2. По двум катетам;

3. По трем углам;

4. По двум сторонам и углу между ними;

5. По стороне и двум прилежащим углам.

Вопрос 4. Указать число, которое не может быть суммой углов четырехугольника на плоскости Лобачевского:

1. 100°;

2. 270°;

3. 300°;

4. 330°;

5. 360°.

Вопрос 5. Указать число, которое не может быть суммой углов сферического треугольника:

1. 170°;

2. 190°;

3. 360°;

4. 440°;

5. 510°.

Задание 4

Вопрос 1. Какое из понятий не является основным и подлежит определению в планиметриях Евклида и Лобачевского?

1. Точка;

2. Прямая;

3. Угол;

4. Расстояние;

5. Отношение «лежать между».

Вопрос 2. На какое понятие опирался Риман в своей теории изменяющихся конфигураций?

1. точка;

2. прямая;

3. угол;

4. расстояние;

5. отношение «лежать между».

Вопрос 3. Какой не может быть сумма углов треугольника в геометрии Римана?

1. 1700;

2. 1800;

3. 2700;

4. 3600;

5. 5400.

Вопрос 4. Найдите ошибку в определении интерпретации элементов модели Пуанкаре планиметрии Лобачевского.

1. Верхняя полуплоскость - это открытая полуплоскость, ограниченная горизонтальной прямой х;

2. Абсолют - прямая х, граница верхней полуплоскости;

3. Точки абсолюта - точки плоскости Лобачевского;

4. Открытые полуокружности верхней полуплоскости с концами на абсолюте - неевклидовые прямые;

5. Лучи полуплоскости с началом на абсолюте и перпендикулярные ему - также неевклидовые прямые.

Вопрос 5. Найдите ошибку в описании элементов арифметической модели системы аксиом евклидовой планиметрии.

1. Любая упорядоченная пара целых чисел (x,y) - точка, а числа х, у - координаты точки;

2. Уравнение ax + by + c = 0, где , a2 + b2 > 0 - прямая;

3. Ось ординат - прямая х = 0;

4. Ось абсцисс - прямая у = 0;

5. Начало координат - точка (0, 0).

Задание 5

Вопрос 1. Как называется функция, производная которой равна данной функции?

1. Производная функции;

2. Подинтегральная функция;

3. Первообразная функции;

4. Неопределенный интеграл;

5. Дифференциальное выражение.

Вопрос 2. Найдите ошибочное выражение:

если F(x) - одна из первообразных для функции f(x), а С - произвольная постоянная, то...

Вопрос 3. Какое из выражений является интегралом ∫ (3x2 - 2x + 5) dx?

Вопрос 4. Какое из выражений является интегралом ...?

Вопрос 5. Какое из выражений является интегралом ∫ 42d× 2ddx?

Задание 6

Вопрос 1. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле ...?

1. x = e t;

2. x = 4e t + 3;

3. t = 3 + 4e x;

4. t = 4e x;

5. (3 + 4e x)- 1

Вопрос 2. Какую из подстановок целесообразно использовать для замены переменной в интеграле ...?

Вопрос 3. Какое из выражений целесообразно принять за u при интегрировании по частям интеграла ...?

1. u = ln x;

2. ...;

3. u=x3;

4. u=x-3;

5. ...

Вопрос 4. Какое из выражений целесообразно принять за u при интегрировании по частям интеграла ∫ x2e3xdx?

1. u=x;

2. u=ex;

3. u=x2;

4. u=e3x;

5. x2e2x.

Вопрос 5. Какое из выражений является интегралом ∫x×arctgxdx?

Задание 7

Вопрос 1. Какое из выражений является разложением многочлена x3 + 4x2 + 4xна простейшие действительные множители?

Вопрос 2. Какой из многочленов имеет корень первой кратности, равный 1; корень второй кратности, равный (-2) и два сопряженных комплексных корня i и (- i)?

Вопрос 3. Какая из рациональных дробей является неправильной?

Вопрос 4. Выделите целую часть из рациональной дроби ...

Вопрос 5. Выделите целую часть из рациональной дроби ...

Задание 8

Вопрос 1. Разложите рациональную дробь на простейшие.

Вопрос 2. Разложите рациональную дробь на простейшие.

Вопрос 3. Разложите рациональную дробь на целую часть и простейшие дроби?

Вопрос 4. Найдите интеграл ...

Вопрос 5. Найти интеграл ...

Задание 9

Вопрос 1. Какой из методов используется при интегрировании четной степени синуса или косинуса?

1. Понижение степени подынтегральной функции заменой sin2 x (cos2 x) по тригонометрическим формулам;

2. Отделение одного из множителей sin x (cos x) и замены его новой переменной;

3. Замена tg x или ctg x новой переменной;

4. Разложение на слагаемые по формулам произведения тригонометрических функций;

5. Интегрирование по частям.

Вопрос 2. Какой интеграл нельзя найти, используя элементарные функции?

Вопрос 3. Найти интеграл ...

Вопрос 4. Найти интеграл ...

Вопрос 5. Найти интеграл ...

Задание 10

Вопрос 1. Вычислите интеграл ò х sinxdx.

1. x×sin x + cos x + C;

2. - x×cos x + sin x + C;

3. x×sin x - sin x + C;

4. x×cos x + sin x + C;

5. - x×sin x - sin x + C.

Вопрос 2. Вычислите интеграл òlnxdx.

1. - x×ln x - x + C,

2. x×ln x + x + C,

3. - x×ln x + x + C,

4. x×ln x - x + C,

5. - x×ln x - x - C.

Вопрос 3. Вычислите интеграл ...

1. 0,5х2 + ln|x| + C,

2. 0,5х2 - ln|x| + C,

3. 0,5х2 + 2ln|x| - 2x - 2 + C,

4. ...;

5. ...

Вопрос 4. Вычислите интеграл ...

1. ...,

2. arctg ex + C,

3. arctg x + C,

4. ...,

5. ...

Вопрос 5. Вычислите интеграл ...

1. ...,

2. ...,

3. 24 - 9х + С,

4. ...,

5. ...

Задание 11

Вопрос 1. Какое из утверждений верно? Интеграл - это:

1. Число;

2. Функция от х;

3. Фунция от f(x);

4. Функция от f(x) и φ(x);

5. Функция от f(x) - φ(x).

Вопрос 2. Вычислите интеграл

1. 40,

2. 21,

3. 20,

4. 42,

5. 0.

Вопрос 3. Вычислите интеграл

1. ...;

2. ...;

3. 2 - 2i;

4. 2 + 2i;

5. ...

Вопрос 4. Чему равен интеграл для любой непрерывной функции f(x):

1. 0;

2. ...;

3. ...;

4. ...;

5. ..., где ... - первообразная от ...

Вопрос 5. Не вычисляя интеграл ... оценить границы его возможного значения, используя теорему об оценке определенного интеграла.

1. от 1 до ...;

2. от до ...;

3. от до ...;

4. от до ...;

5. от до 1.

Задание 12

Вопрос 1. Каков геометрический смысл определенного интеграла от функции y = f(x) в интервале [a, b] в системе декартовых координат?

1. Длина линии y = f(x) в интервале [a, b];

2. Алгебраическая площадь криволинейной трапеции, ограниченной линией y = f(x) в интервале [a, b];

3. Среднее значение функции y = f(x) в интервале [a, b];

4. Произведение среднего значения функции в интервале [a, b] на длину интервала;

5. Максимальное значение функции y = f(x) в интервале [a, b].

Вопрос 2. На рисунке изображена криволинейная трапеция. Графиками каких функций она ограничена?

1. y = cos x, y = 0;

2. y = sin x, y = 0;

3. y = tg x, y = 0;

4. y = ctg x, y = 0;

5. нет верного ответа.

Вопрос 3. На рисунке изображена криволинейная трапеция. ... С помощью какого интеграла можно вычислить ее площадь?

Вопрос 4. Найдите площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = х3, у = 0, х = 0, х = 2.

1. 9;

2. 12;

3. 4;

4. 20;

5. 20,25.

Вопрос 5. Найдите площадь криволинейной трапеции, образованной графиками функций

у =√x, у = 0, х = 9.

1. 2;

2. 6;

3. 17;

4. 18;

5. 27.

Задание 13

Вопрос 1. Какой из приведенных ниже интегралов является несобственным, если функция f(x) - непрерывна?

Вопрос 2. Чему равен интеграл ?

1. 0;

2. ...;

3. ...;

4. 2;

5. Интеграл расходится;

Вопрос 3. Чему равен интеграл ?

1. 0;

2. ;

3. p ;

4. 2p ;

5. ¥.

Вопрос 4. Какое из дифференциальных выражений является полным дифференциалом?

Вопрос 5. Какая из функций является первообразной для дифференциального выражения

Задание 14

Вопрос 1. Какое из уравнений не является дифференциальным?

Вопрос 2. Какое из уравнений является дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными?

Вопрос 3. Какое из уравнений является однородным дифференциальным уравнением?

Вопрос 4. Какое из уравнений не является линейным дифференциальным уравнением?

Вопрос 5. Какое из уравнений является уравнением в полных дифференциалах?

Задание 15

Вопрос 1. Сколько частных решений имеет уравнение xy" = y + x?

1. 0;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. Бесконечное множество.

Вопрос 2. Сколько общих решений имеет дифференциальное уравнение xy" = y?

1. 0;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. Бесконечное множество.

Вопрос 3. Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными xdx + ydy = 0.

Вопрос 4. Решить линейное дифференциальное уравнение без правой части ...

Вопрос 5. Решить линейное дифференциальное уравнение с правой частью ...

Задание 16

Вопрос 1. Какой вид имеет дифференциальное уравнение второго порядка?

Вопрос 2. Какой вид имеет общее решение дифференциального уравнения второго порядка?

1. ..., где C1, C2, C3 - произвольные константы;

2. ..., где C1, C2 - произвольные постоянные;

3. ...;

4. ...;

5. ..., где C1, C2 - произвольные постоянные.

Вопрос 3. Сколько начальных условий необходимо задать для определения постоянных величин в общем решении дифференциального уравнения второго порядка?

1. 0;

2. 1;

3. 2;

4. 3;

5. 4.

Вопрос 4. Чем определяется порядок дифференциального уравнения?

1. Количеством операций (шагов) при его решении;

2. Количеством переменных величин в правой части;

3. Максимальной степенью переменной х;

4. Дифференцируемостью правой части уравнения;

5. Высшим порядком производной, входящей в уравнение.

Вопрос 5. Сколько произвольных постоянных величин содержит решение дифференциального уравнения 4-го порядка, если начальные условия не заданы?

1. 1;

2. 2;

3. 3;

4. 4;

5. 5.

Задание 17

Вопрос 1. Какое из уравнений не сводится к линейному дифференциальному уравнению второго порядка?

Вопрос 2. К какому дифференциальному уравнению при решении сводится уравнение yy" + (y")2 = 0?

1. К уравнению в полных дифференциалах;

2. К уравнению с разделяющимися переменными;

3. К дифференциальному уравнению третьего порядка;

4. К линейному дифференциальному уравнению первого порядка;

5. К дифференциальному уравнению, не содержащему у.

Вопрос 3. Какое из уравнений не может быть решено методом вариации произвольных постоянных?

5. Любое из перечисленных уравнений может быть решено методом вариации произвольных постоянных.

Вопрос 4. Под каким номером записано общее решение уравнения y" - 4y" + 4y= 0?

Вопрос 5. Под каким номером записано общее решение уравнения y" + 25y= 0?

Задание 18

Вопрос 1. Какие три функции составляют систему линейно зависимых функций?

1. 1, sin x, cos x;

2. tg x, sin x, cos x;

3. x 2 + 1, x 4, x 3;

4. e x, e 2x, xe x;

5. x, x 2 + 1, (x + 1) 2.

Вопрос 2. Какой из определителей является определителем Вронского?

Вопрос 3. Предположим, что характеристическое уравнение r3 + a1r2 + a2r + a3 = 0 имеет корни: 1-2i, 1+2i, 5. Какова фундаментальная система решений соответствующего однородного дифференциального уравнения?

Вопрос 4. Сколько начальных условий определяют частное решение нормальной системы дифференциальных уравнений?

1. столько же, сколько уравнений в системе;

2. Столько же, сколько функций составляют решение этой системы;

3. В два раза больше, чем порядок дифференциальных уравнений в системе;

4. Число начальных условий совпадает с порядком дифференциальных уравнений системы;

5. Число начальных условий совпадает с максимальным числом переменных в правых частях дифференциальных уравнений системы.

Вопрос 5. Под каким номером записано общее решение системы уравнений ?

1. ...;

2. ...;

3. ..., где C1, C2, C3, C4 - постоянные величины;

4. ..., где C1, C2, C3, C4 - постоянные величины;

5. ..., где C1, C2 - постоянные величины.

ТЕСТ

СБОРНИК ЗАДАНИЙ ПО ПРЕДМЕТУ «ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА» (код - ВК-2)

Задание 24

Вопрос 1. Среди представленных пар множеств найдите равные:

1) {1,3, 5, 7, 9} и (9, 7, 5, 3, 1};

2) {@, #, $, %, &,} и {@, #, $, %, №};

3) {х + 2=1 | х N} и {х + 2=1|хеR};

4) {статьи, составляющие Конституцию РФ} и {статьи, составляющие Гражданский кодекс РФ};

5) все представленные множества разные.

Вопрос 2. А - множество натуральных чисел кратных 2, В - множество натуральных чисел кратных 3, С - множество натуральных чисел кратных 6. Укажите верные включения:

1) А В, В С;

2) В А, В С;

3) А С, В С;

4) С А, С В;

5) С А, В А.

Вопрос 3. Множество А задано характеристическим условием: А= {х + 2 = 1 | х N}. Какое оно?

1) ограниченное сверху;

2) ограниченное снизу;

3) пустое;

4) непустое;

5) бесконечное.

Вопрос 4. Множество М задано характеристическим свойством: «быть чётным числом». Найдите ложное утверждение

1) М={2n; n N};

2) | М| = ;

3) М N;

4) А М; где А = {4n; n N};

5) М = Ш.

Вопрос 5. Множество М задано характеристическим свойством: «быть чётным числом». Найдите свойство, не соответствующее данному множеству:

1) М бесконечно;

2) М ограничено снизу;

3) М ограничено сверху;

4) М упорядочено;

5) М не пусто.

Задание 25

Вопрос 1. Закончите определение: «Непустое множество - это множество, мощность которого...». Выберите наиболее полный ответ.

1) =0,

2) 0,

3) =,

4) ,

5) =10.

Вопрос 2. Закончите определение: «Бесконечное множество - это множество, мощность которого...» Выберите наиболее полный ответ

1) = 0,

2) 0,

3) = ,

4) ,

5) = 10.

Вопрос 3. Закончите определение: «Конечное множество - это множество, мощность которого...».

1) = 0,

2) 0,

3) =,

4) ,

5) = 10.

Вопрос 4. Найдите подмножество множества {10,20,30...100}.

1) {10, 11, 12,...99,100},

2) {10,30,50,70,90},

3) {1,2,3....10},

4) {10х|х{0,1,2,...10}},

5) верны ответы 2 и 4.

Вопрос 5. Найдите свойства множества рациональных чисел Q.

1) конечно, ограничено, замкнуто относительно сложения;

2) бесконечно, ограничено, замкнуто относительно вычитания;

3) конечно, ограниченно снизу, незамкнуто относительно деления;

4) бесконечно, неограниченно, незамкнуто относительно умножения;

5) бесконечно, неограниченно, замкнуто относительно сложения, вычитания, умножения и деления.

Задание 26

Вопрос 1. А - множество корней уравнения Зх2 - 12х - 15 = 0, а В - множество корней уравнения х2 - 3х - 10 = 0. Найдите А В.

1) {-2,-1, 5};

2) {5,-1, 5,-2};

3) {5};

4) {-1.-2};

5) {-1}.

Вопрос 2. А - множество чисел кратных 7, В - множество чисел кратных 3, С - множество чисел кратных 2. Опишите множество (А В) \ С.

1) это числа кратные 7;

2) это числа кратные 3;

3) это числа кратные 2;

4) это числа кратные 21;

5) это числа кратные 42.

Вопрос 3. А - множество корней уравнения Зх2 - 12х -15 = 0, а В- множество корней уравнения х2 - Зх - 10 = 0. Найдите А \В.

1) {-2,-1,5};

2) {5,-1,5,-2};

3) {5};

4) {-1.-2};

5) {-1}.

Вопрос 4. Найдите множества А и В, такие что 5 А В, 7 А В.

1) А - множество чисел, кратных 5, В - множество делителей числа 20;

2) А = {4, 5, 6, 7, 8}, В = {1,2, 3,4, 5};

3) А={х5|хN},В={х;5|хN};

4) А - множество решений уравнения х2 - 12х + 35 =0, В - множество решений уравнения х2 - 8х + 15 = 0

5) все ответы верны.

Вопрос 5. Множество X = {А; В; С; О}, а множество У = {С; В; Е; Н}. Выполните действие (X \Y) U(Y \ X).

1) {А; В; С; D; Е; Н};

2) {А; В; Е; Н};

3) {D; С};

4) Ш;

5) нет правильного ответа.

Задание 27

Вопрос 1. Известно декартово произведение X х Т = {(М, А), (К, В), (М, В), (К, А)}. Определите множества А и В.

1) Х = {А, В};Т={М, К};

2) Х={М, К};Т={А, В};

3) Х = {А, А, В, В};Т={М, К, М, К};

4) Х={М, К, М, К};Т={А, В, В, А};

5) нет верного ответа.

Вопрос 2. n(А) = 7, А x В = Ш. Чему равно n(В)?

1) 7;

2) 0;

3) 1;

4) 49

5) нет верного ответа.

Вопрос 3. Пусть Н - множество дней недели, а М - множество дней в январе. Какова мощность множества Н х М?

1) 38;

2) 217;

3) 365;

4) 31;

5) 7.

Вопрос 4. На множестве целых чисел введена операция нахождения модуля числа. Какого вида эта операция?

1) унарная;

2) бинарная;

3) тернарная;

4) n-арная;

5) нахождение модуля нельзя рассматривать как операцию.

Вопрос 5. На множестве множеств введена операция объединения. Какими свойствами она обладает?

1) коммутативность;

2) ассоциативность;

3) наличием нейтрального элемента;

4) всеми вышеперечисленными;

5) ни одним из вышеперечисленных.

Задание 28

Вопрос 1. На множестве множеств введена операция вычитания. Какими свойствами она обладает?

1) коммутативность;

2) ассоциативность;

3) наличием нейтрального элемента;

4) всеми вышеперечисленными;

5) ни одним из вышеперечисленных.

Вопрос 2. На множестве векторов введена операция сложения. Найдите нейтральный элемент.

1) e (1,1);

2) е (0, 1);

3) е (1,0);

4) е(0,0);

5) нейтрального элемента нет.

Вопрос 3. На множестве матриц 2x2 введена операция сложения. Какими свойствами она обладает?

1) коммутативность;

2) ассоциативность;

3) наличием нейтрального элемента;

4) всеми вышеперечисленными;

5) ни одним из вышеперечисленных.

Вопрос 4. На множестве действительных чисел введена операция возведения в степень: ЬЄ. Какими свойствами она обладает?

1) коммутативность;

2) ассоциативность;

3) наличием нейтрального элемента;

4) всеми вышеперечисленными;

5) ни одним из вышеперечисленных.

Вопрос 5. На множестве действительных чисел введено бинарное отношение х р у х2 = у2. Какими свойствами оно обладает?

1) рефлексивность;

2) антирефлексивность;

3) симметричность;

4) транзитивность;

5) эквивалентность.

Задание 29

Используя правило умножения, решите следующие задачи.

Вопрос 1. Сколько трехзначных чисел можно записать, используя цифры 0,1,3, 6, 7, 9, если каждая из них может быть использованы в записи только один раз?

1) 18;

2) 20;

3) 100;

4) 120;

5) 216.

Вопрос 2. Сколько различных кортежей длины 2 можно составить из 5 элементов?

1) 0;

2) 2;

3) 10;

4) 25;

5) 32.

Вопрос 3. Из города А в город В ведут 3 дороги, а из города В в город С - 5 дорог. Сколькими способами можно попасть из А в С, при условии, что между ними нет прямых сообщений?

1)1;

2) 3;

3) 5;

4) 8;

5) 15.

Вопрос 3. Пассажир оставил вещи в автоматической камере хранения, а когда пришел получать, выяснилось, что он забыл номер. Он только помнит, что в номере были числа 23 и 37. Чтобы открыть камеру, нужно правильно набрать пятизначный номер. Какое наибольшее количество номеров нужно перебрать, чтобы открыть камеру?

1) 2;

2) 3;

3) 10;

4) 30;

5) 60.

Вопрос 5. Сколько имеется трёхзначных чисел, кратных пяти?

1) 3;

2) 5;

3) 180;

4) 200;

5) 450.

Задание 30

Используя формулы сочетаний, решите следующие задачи.

Вопрос 1. В роте имеется 3 офицера и 40 солдат. Сколькими способами может быть выделен наряд из одного офицера и 3 солдат?

1) 4940;

2) 9880;

3) 29640;

4) 59280;

5) 177840.

Вопрос 2. Допустим, что для посадки нам требуется 9 деревьев, а в магазине есть саженцы деревьев пяти сортов (пород). Из скольких вариантов (составов) покупки 9 деревьев нам придется выбирать?

1) Из 120;

2) Из 240;

3) Из 715;

4) Из 672;

5) Из 849.

Вопрос 3. На тренировках занимаются 12 баскетболистов. Сколько стартовых пятёрок может образовать тренер?

1) 2;

2) 5;

3) 12;

4) 60;

5) 792.

Вопрос 4. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 8 открыток?

1) 45;

2) 19448;

3) 24310;

4) 224448;

5) 525 000.

Вопрос 5. В продажу поступили открытки 10 разных видов. Сколькими способами можно образовать набор из 12 открыток?

1) 66;

2) 100;

3) 144;

4) 293930;

5) 352716.

Задание 31

Используя формулы размещений, решите следующие задачи.

Вопрос 1. Сколько существует двухзначных натуральных чисел, не содержащих цифры 0 и 9?

1) 20;

2) 64;

3) 72;

4) 81;

5) 99.

Вопрос 2. Сколько всего разных символов (букв, цифр, знаков препинания...) можно закодировать (представить) кортежами из точек и тире, имеющими длину от 1 до 5?

1) 30;

2) 32;

3) 62;

4) 64;

5) 126.

Вопрос 3. У англичан принято давать детям несколько имён. Сколькими способами можно назвать ребёнка, если выбирать двойное имя из 300 имён?

1) 6000;

2) 8000;

3) 89400;

4) 89700;

5) 90000.

Вопрос 4. В классе изучают 10 предметов. В понедельник 6 уроков, при чём все различные. Сколькими способами можно составить расписание на понедельник? 1) 60; 2) 210;

3) 151200;

4) 610;

5) 10⁶.

Вопрос 5. Сколько автомашин можно обеспечить трёхзначными номерами?

1)30;

2)300;

3)1000;

4)3000;

5)10 000.

Задание 32

Используя формулы перестановок, решите следующие задачи.

Вопрос 1. Сколько различных перестановок букв можно сделать в слове «колокол»?

1) 12;

2) 24;

3) 210;

4) 420;

5) 5040.

Вопрос 2. Сколько разных кортежей букв длины 7, можно образовать перестановкой букв в слове "сколько"?

1) 7;

2) 420;

3) 630;

4) 260;

5) 2520.

Вопрос 3. Сколькими способами можно расположить на шахматной доске 8 ладей так, чтобы они не могли взять друг друга?

1) 8;

2) 64;

3) 216;

4) 8000;

5) 40320.

Вопрос 4. Сколькими способами могут составить хоровод 5 девушек?

1) 15;

2) 25;

3) 32;

4) 120;

5) 240.

Вопрос 5. Мать купила 2 яблока, 3 груши, 4 апельсина. Девять дней подряд она каждый день предлагала ребёнку; по одному фрукту. Сколькими способами она может ему выдать фрукты?

1) 9;

2) 24;

3) 216;

4) 1260;

5) 2520.

Задание 33

Используя формулу перекрытий (включений и исключений), решите следующие задачи.

Вопрос 1. Известно, что n(А В С) = 60, n(А) = 27, n(В) = 32, n(А В) = 10, n(А С) = 8, n(С В) = 6, n(А В С) = 3. Найти n(С).

1) 16;

2) 20;

3) 22;

4) 28;

5) 59.

Вопрос 2. В студенческой группе всего 45 студентов. Из них в футбольной секции занимаются 31 человек, в шахматной - 28, в баскетбольной - 30. Одновременно в футбольной и шахматной секциях занимаются 20 студентов этой группы, в баскетбольной и футбольной - 22 студента, в шахматной и баскетбольной - 18 студентов. Кроме того известно, что 12 студентов этой группы занимаются одновременно в трех упомянутых секциях. Сколько студентов группы не занимается ни в одной из упомянутых секций?

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5.

Вопрос 3. Студенты 3-его курса юридического факультета знакомились с работой различных юридических; учреждений. Известно, что в юридической консультации побывало 25 студентов, с работой нотариальной конторы знакомились 30 студентов, а на заседаниях суда присутствовали 28 студентов. Сколько студентов ознакомилось с работой юридических учреждений, если известно, что 16 человек были и в юридической консультации и в нотариальной конторе; 18 человек были в юридической консультации и в суде; а 17 - в нотариальной конторе и в суде; более того, 15 студентов посетили все три места?

1) 32;

2) 40;

3) 37;

4) 47.

5) 83.

Вопрос 4. На загородную прогулку поехали 92 человека. Бутерброды с колбасой взяли 47 человек, с сыром - 38 человек, с ветчиной - 42 человека. И с сыром и с колбасой - 28 человек, и с колбасой и с ветчиной - 31 человек, и с сыром и с ветчиной - 26 человек. 25 человек взяли с собой бутерброды всех трех видов, а несколько человек вместо бутербродов взяли с собой пирожки. Сколько человек взяли с собой пирожки?

1) 15;

2) 25;

3) 35;

4)67;

5) 102.

Вопрос 5. В течении месяца в театрах города N шли спектакли по пьесам русских писателей А.П. Чехова, А.Н Островского и М.А. Булгакова. Группа студентов 1-ого курса театрального института ходила на спектакли, и каждый из них посмотрел либо спектакли всех трех авторов (таких было всего четверо), либо только одного из них. Спектакли Чехова посмотрели 13 студентов, на спектакли по пьесам Островского сходили 16 студентов, а на спектаклях по пьесам Булгакова смогли побывать 19 студентов. Установите количество студентов в группе.

1) 40;

2) 44;

3) 48;

4) 52;

5) 56.

Задание 34

Укажите математические модели для следующих задач.

Вопрос 1. Кондитерская фабрика для производства трех видов карамели А, В и С использует три вида основной сырья: сахарный песок, патоку и фруктовое пюре. Нормы расхода сырья каждого вида на производства 1карамели данного вида приведены в таблице. В ней же указано общее количество сырья каждого вида, которое может быть использовано фабрикой, а также приведена прибыль от реализации 1 т карамели данного вида.

Вид сырья Нормы расхода сырья (т) на 1 т карамели Общее количество сырья (т)

А В С

Сахарный песок Патока Фруктовое пюре 0.8 0.4

- 0.5 0.4 0.1 0.6 0.3 0.1 800 600 120

Прибыль от реализации 1 т продукции (руб) 108 112 126

Найти план производства карамели, обеспечивающий максимальную прибыль от ее реализации.

1)F=108x+112x =126xmax

2)

3)

4)

5)

Вопрос 2. При откорме животных каждое животное ежедневно должно получать не менее 60 единиц питательного вещества А, не менее 50 единиц вещества В и не менее 12 единиц вещества С. Указанные питательные вещества содержат три вида корма. Содержание единиц питательных веществ в 1 кг каждого из видов корма приведено в следующей таблице:

Питательные вещества Количество единиц питательных веществ в 1 кг корма вида

I II III

А

В

С 1

2

1 3

4

4 4

2

3

Составить дневной рацион, обеспечивающий получение необходимого количества питательных веществ при минимальных денежных затратах, если цена 1 кг корма I вида составляет 9 копеек, корма II вида - 12 копеек и корма III вида -10 копеек.

1)

2)

3)

4)

5)

Вопрос 3. Производственная мощность завода позволяет производить за месяц 20 тыс. изделий типа А и 16 тыс. изделий типа В. При одновременном выпуске изделий обоих типов их количество не может превышать 18 тыс. Прибыль, получаемая заводом при реализации одного изделия типа А, равна 800 ус. ед., типа В - 1000 ус. ед. Определить план выпуска изделий каждого типа, обеспечивающий наибольшую прибыль.

1)

2)

3)

4)

5)

Вопрос 4. В трех пунктах отправления сосредоточен однородный груз в количествах 420, 380, 400 т. Этот груз необходимо перевезти в три пункта назначения в количествах, соответственно равных 260, 520, 420 т. Стоимости перевозок 1 т груза из каждого пункта отправления в каждый пункт назначения известны и задаются матрицей (в условных единицах):

Найти план перевозок, обеспечивающий вывоз имеющегося в пунктах отправления и завоз необходимого в пункты назначения груза при минимальной общей стоимости перевозок.

1)Найти минимум функций при условиях:

2) Найти минимум функции при условиях:

3) Найти минимум функций при условиях:

4) Найти минимум функций при условиях:

5) Найти минимум функций при условиях:

Вопрос 5. В аэропорту для перевозки пассажиров по nмаршрутам может быть использовано mтипов самолетов. Вместимость самолета -го типа равна человек, а количество пассажиров, перевозимых по -му маршруту за сезон, составляет человек. Затраты, связанные с использованием самолета -го типа на -м маршруте, составляют руб.

Определить для каждого типа самолета сколько рейсов и на каком маршруте должно быть сделано, чтобы потребность в перевозках была удовлетворена при наименьших общих затратах.

1) при условиях

целые

2)при условиях

целые

3) при условиях

целые

4) при условиях

целое

5) при условиях

целое

Задание 35

Вопрос 1. В какой форме записана задача линейного программирования:

1) в общей;

2) в стандартной;

3) в канонической;

4) в основной;

5) в оптимальной.

Вопрос 2. В какой форме записана задача линейного программирования:

1) в общей;

2) в стандартной;

3) в канонической;

4) в симметричной;

5) в оптимальной.

Вопрос 3. Запишите задачу линейного программирования в стандартной форме:

1)

2)

3)

4)

5)

Вопрос 4. Запишите задачу линейного программирования в симметричной форме:

1)

2)

3)

4)

5)

Вопрос 5. Запишите задачу линейного программирования в основной форме:

1)

2)

3)

4)

5)

Задание 36

Вопрос 1. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего максимум целевой функции F.

Ответ 2

Вопрос 2. На каком из рисунков дана верная геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, обеспечивающего минимум целевой функции Р.

Ответ 4

Вопрос 3. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования приведена на рисунке. Чему равен её минимум?

Ответ 3

х->1) Х* = (0;2);

2) Х* = (2;0);

3) Х* = (2;2);

4) Х* = (0;4);

5) решений нет.

Вопрос 4. Геометрическая интерпретация решения задачи линейного программирования, приведена на рисунке.

Ответ 4

1) Х* = (0;2);

2) Х* = (2;0);

3) Х* = (2;2);

4) Х* = (0;4);

5) решений нет.

Вопрос 5. Укажите решение задачи линейного программирования, обеспечивающейся по геометрической интерпретации, приведённой на рисунке:

Ответ 4

Х* = (0;0);

Х* = (0;6,5);

Х* = (7,5;3);

Х* = (10;0).

Задание 37

Вопрос 1. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи:

1) Fmin = -9, при х* = (5;1);

2) Fmin = -10, при х* = (5;0);

3) Fmin = -11, при х* = (10;9);

4) Fmin = -12, при х* = (10;8);

5) Fmin = -15, при х* = (8;1).

Вопрос 2. Используя геометрическую интерпретацию, найдите решение задачи:

1) Fmax = 10, при х* = (8;2);

2) Fmax = 11, при х* = (10;1);

3) Fmax = 12, при x* = (10;2);

4) Fmax = 14, при х* = (14;0);

5) Fmax = 15, при х* = (7;8).

Вопрос 3. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи:

1) Fmin = 16;

2) Fmin = 18;

3) Fmin = 19;

4) Fmin = 22;

5) Fmin = 29.

Вопрос 4. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи:

1) Fmin = 25;

2) Fmin = 45;

3) Fmin = 52;

4) Fmin = 60;

5) Fmin = 80.

Вопрос 5. Используя геометрическую интерпретацию задачи целочисленного линейного программирования, укажите решение задачи:

8х + 10ymax.

1) Fmax = 70, при х* = (15;3);

2) Fmax = 150, при х* = (0;15);

3) Fmax = 152, при х* = (19;0);

4) Fmax = 174, при х* = (3;15);

5) Fmax = 180, при х* = (10;10).

Задание 38

Используя симплексный метод, найдите решение задач линейного программирования.

Вопрос 1.

1) Fmax = 6, при х* = (3;1;1;4);

2) Fmax = 10, при х* = (0;5;0;-2);

3) Fmax = 10, при х* = (5;0;0;3);

4) Fmax = 11, при х* = (1;2;2;5);

5) Fmax = 13, при х* = (6;0;-1;1).

Вопрос 2.

1) Fmax = -28,5 при х* = (1;2;1;0,5);

2) Fmax = -38, при х* = (2;3;0,5;1);

3) Fmax = 23, при х* = (5;1;-5;-2);

4) Fmax = -14,5, при х* = (3;0;0;0,5);

5) Fmax = -36, при х* = (2;0;1;2).

Вопрос 3.

1) Fmin = 11, при х* = (1;0;0;6);

2) Fmin = 12, при х8 = (2;0;0;5);

3) Fmin = 21, при х* = (0;3;0;6);

4) Fmin = 53, при х* = (5;8;5;2);

5) Fmin = 59, при х * = (28;1;0;0).

Вопрос 4.

1) х* = (12;3;0;18;30;18);

2) х* = (19;0;0;51;27;0);

3) х* = (10;22;8;3;8;2);

4) х* = (18;0;6;66;0;0);

5) х* = (36;0;24490;60;3).

Вопрос 5.

1) х* = (32;2;27;2;0;5);

2) х* = (23;4;0;1;0;0);

3) х* = (24;3;8;2;0;0);

4) х* = (25;1;23;3;4;1);

5) х* = (62;0;87;0;0;25).

Задание 39

Решите задачи нелинейного программирования.

Вопрос 1. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции:

при условиях

1) Fmax = 22;

2) Fmax = 23;

3) Fmax = 24;

4) Fmax = 25;

5) Fmax = 42.

Вопрос 2. Используя метод геометрической интерпретации, укажите максимальное значение функции:

при условиях

1) Fmax = 35;

2) Fmax = 36;

3) Fmax = 37;

4) Fmax = 38;

5) Fmax = 39.

Вопрос 3. Используя любой метод, найдите экстремум функции при условиях

1) Fmax = ;

2) Fmax = ;

3) Fmax = ;

4) Fmin = ;

5) Fmin = .

Вопрос 4. Используя метод множителей Лангража, укажите экстремум функции:

при условиях

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Вопрос 5. Используя метод множителей Лангража, укажите экстремум функции:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Задание 40.

Вопрос 1. Укажите формулировку задачи в терминах общей задачи динамического программирования:

1) Найти максимум функции при условиях

2) Найти минимум функции при условиях

3) Найти минимум функции при условиях

4) Выбрать такую стратегию управления чтобы обеспечить максимум функции

5) Найти максимум функции

Вопрос 2. К какому типу задач относится задача вида при условиях

1) Задача линейного программирования;

2) Задача динамического программирования;

3) Задача нелинейного программирования;

4) Транспортная задача;

5) Целочисленная задача линейного программирования.

Вопрос 3. Укажите выражение, представляющее основное функциональное уравнение Беллмана или рекуррентное соотношение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) .

Вопрос 4. Как получить оптимальную стратегию управления методом динамического программирования?

1) В один этап;

2) В nэтапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на 2-м и т.д. вплоть до последнего n-го шага;

3) В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на 1-м шаге, затем на двух первых шагах, затем на трех первых шагах и т.д., включая последний n-й шаг;

4) В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на (n-1)-м, затем на (n-2)-м и т.д. вплоть до n-го шага;

5) В n этапов; сначала оптимальная стратегия ищется на n-м шаге, затем на 2-х последних шагах, затем на 3 последних и т.д. вплоть до первого шага.

Вопрос 5. Какая формулировка является формулировкой в терминах динамического программирования для задачи:

В состав производственного объединения входят два предприятия, связанные между собой кооперативными поставкам. Вкладывая дополнительные средства в целях развития этих предприятий, можно улучшить технико-экономические показатели деятельности производственного объединения в целом, обеспечив тем самым получение дополнительной прибыли. Величина этой прибыли зависит от того, сколько выделяется средств каждому предприятию и как эти средства используются. Считая, что на развитие i-го предприятия в начале k-го года выделяется тыс. руб., найти таю вариант распределения средств между предприятиями в течении N лет, при котором обеспечивается получение за данный период времени максимальной прибыли.

1) Критерий при условиях

2) - состояние системы в начале k-го года, ;

Критерий

3) состояние системы в начале k-го года,

;

4) Критерий при условиях

5) .

Задание 41

Вопрос 1. Сколько шагов причинно-следственного анализа Вы знаете?

1) 3;

2) 4;

3) 5;

4) 6;

5) 7.

Вопрос 2. Первоначальный сбор информации для причинно-следственного анализа должен дать описание проблемы. В чём оно заключается?

1) Опознание;

2) Локализация;

3) Время;

4) Масштаб;

5) Всё вышеперечисленное.

Вопрос 3. Каковы цели разработки определения проблемы?

1) Прояснение понимания проблемы;

2) Выявление возможных причин;

3) Создание условий для проверки возможных причин на истинность;

4) Всё вышеперечисленное;

5) Ничего из вышеперечисленного.

Вопрос 4. Сколько вариантов причинно-следственного анализа существует?

1) 1;

2)2;

3) 3;

4)4;

5)5.

Вопрос 5. Сколько основных шагов в процессе принятия решений Вы знаете?

1) 5;

2) 6;

3) 7;

4) 8;

5)9.

Высшая математика 3 часть.

Задание 42

Вопрос 1. При исследовании пола новорожденных:

1) (Е1, Е2), где Е1 - рождение мальчика, Е2 - рождение девочки;

2) (Е1, Е2), где Е1 - в 515 случаев из 1000 родились мальчики, Е2 - в 485 случаев из 1000 родились девочки;

3) (Е1, Е2), где Е1 - живые младенцы, Е2 - мертворожденные младенцы;

4) (Е1, Е2), где Е1 - все родившиеся - мальчики, Е2 - все родившиеся - девочки;

5) Верны ответы 1 и 2.

Вопрос 2. При бросании игрального кубика:

1) (Е1, Е2), где Е1 - выпадение четного числа, Е2 - выпадение нечетного числа;

2) (Е1, Е2...Е6), где Е1 - выпало число 1, Е2 - выпало число 2,..., Е6 - выпало число 6;

3) (Е1, Е2), где Е1 - выпадение числа, Е2 - не выпало ничего;

4) (Е1, Е2), где Е1 - выпало число 6, Е2 - не выпало число 6;

5) Все ответы верны.

Вопрос 3. В ящике лежат красные, желтые и белые шары. При извлечении из ящика наугад одного шара:

1) (Е1, Е2), где Е1 - достали шар, Е2 - не достали шар;

2) (Е1, Е2), где Е1 - достали желтый шар, Е2 - достали шар не желтого цвета;

3) (Е1, Е2), где Е1 - достали красный шар, Е2 - достали шар не красного цвета;

4) (Е1, Е2), где Е1 - достали белый шар, Е2 - достали шар не белого цвета;

5) (Е1, Е2, Е3), где Е1 - достали шар красного цвета, Е2 - достали шар желтого цвета, Е3 - достали шар белого цвета.

Вопрос 4. При исследовании качества стрельбы одного стрелка:

1) (Е1, Е2), где Е1 - выстрел выполнен, Е2 - выстрел не выполнен;

2) (Е1, Е2...Еn), где Е1 - 1 попадание в цель, Е2 - 2 попадания,..., Еn - n попаданий;

3) (Е1, Е2), где Е1 - попадание в цель, Е2 - непопадание в цель;

4) Все ответы верны;

5) Нет верного ответа.

Вопрос 5. Сделанные детали необходимо сортировать по качеству: 1 сорт, 2 сорт, 3 сорт, брак. При данной сортировке:

1) (Е1, Е2), где Е1 - деталь бракованная , Е2 - деталь не бракованная;

2) (Е1, Е2), где Е1 - деталь 1 сорта, Е2 - деталь другого сорта;

3) (Е1, Е2), где Е1 - деталь 2 сорта, Е2 - деталь другого сорта;

4) (Е1, Е2), где Е1 - деталь 3 сорта, Е2 - деталь другого сорта;

5) (Е1, Е2, Е3, Е4), где Е1 - деталь 1 сорта, Е2 - деталь 2 сорта, Е3 - деталь 3 сорта, Е4 - бракованная деталь.

Задание 43

Вопрос 1. Проводят исследование половой принадлежности детей в семьях с двумя детьми. Какова полная система событий при исследовании таких семей?

1) (Е1, Е2), где Е1 - дети однополые , Е2 - дети разнополые;

2) (Е1, Е2), где Е1 - в семье 2 мальчика, Е2 - в семье 2 девочки;

3) (Е1, Е2, Е3), где Е1 - в семье 2 мальчика, Е2 - в семье 2 девочки, Е3 - дети разнополые;

4) (Е1, Е2, Е3, Е4), где Е1 - в семье 2 мальчика, Е2 - в семье 2 девочки, Е3 - первый мальчик, вторая девочка, Е4 - первая девочка, второй мальчик;

5) Все ответы верны.

Вопрос 2. Из колоды карт вынимают две карты сразу и сравнивают их по цвету. Какова полная система событий при таком испытании?

1) (Е1, Е2), где Е1 - обе карты красные, Е2 - обе карты черные;

2) (Е1, Е2), где Е1 - обе карты одного цвета, Е2 - карты разных цветов;

3) (Е1, Е2, Е3), где Е1 - обе карты красные, Е2 - обе карты черные, Е3 - карты разных цветов;

4) (Е1, Е2, Е3, Е4), где Е1 - обе карты красные, Е2 - обе карты черные, Е3 - первая красная, вторая черная, Е4 - первая черная, вторая красная;

5) Все ответы верны.

Вопрос 3. В ящике лежат красные, желтые и белые шары. Какова полная система событий при извлечении из ящика двух шаров одновременно:

1) (Е1, Е2, Е3), где Е1 - оба шара красные, Е2 - оба шара желтые, Е3 - оба шара белые;

2) (Е1, Е2, Е3, Е4), где Е1 - оба шара красные, Е2 - оба шара желтые, Е3 - оба шара белые, Е4 - шары разных цветов;

3) (Е1, Е2), где Е1 - оба шара одинакового цвета, Е2 - шары разных цветов;

4) (Е1, Е2), где Е1 - первым достали белый шар, Е2 - вторым достали шар не белого цвета;

5) (Е1, Е2, Е3, Е4, Е5, Е6), где Е1 - оба шара красные, Е2 - оба шара желтые, Е3 - оба шара белые, Е4 - шары белый и красный, Е5 - шары белый и желтый, Е6 - шары красный и желтый.

Вопрос 4. Два игральных кубика бросают одновременно и подсчитывают сумму очков, выпавших на них. Какова полная система событий при данном испытании?:

1) (Е1, Е2), где Е1 - сумма - четное число, Е2 - сумма - нечетное число;

2) (Е1, Е2, ..., Е12), где Е1 - сумма равна 1, Е2 - сумма равна 2, ..., Е12 - сумма равна 12;

3) (Е1, Е2), где Е1 - сумму посчитать можно, Е2 - сумму посчитать невозможно;

4) (Е0, Е2, ..., Е12), где Е0 - сумму посчитать невозможно, Е1 - сумма равна 1, Е2 - сумма равна 2, ..., Е12 - сумма равна 12;

5) (Е1, Е2, ..., Е11), где Е1 - сумма равна 2, Е2 - сумма равна 3, ..., Е11 - сумма равна 12.

Вопрос 5. Из колоды карт вынимают одну карту. Данную карту можно характеризовать по разным критериям. Какова может быть полная система событий при таком испытании?

1) (Е1, Е2), где Е1 - карта является картинкой, Е2 - карта числовая;

2) (Е1, Е2), где Е1 - карта красная, Е2 - карта черная;

3) (Е1, Е2), где Е1 - карта козырная, Е2 - карта не козырная;

4) (Е1, Е2, Е3, Е4), где Е1 - карта бубновой масти, Е2 - карта червовой масти, Е3 - карта трефовой масти, Е4 - карта пиковой масти;

5) Все ответы верны.

Задание 44

Вопрос 1. Три стрелка А, В, С одновременно производят выстрел по одной мишени. Полной системой событий в таком испытании будет следующее множество событий: Е1 - попали все трое, E2 - попали только двое из троих, E3 - попал только один из троих, Е, - не попал ни один из стрелков. Сколько элементарных исходов приходится на каждое событие системы?

1) На каждое событие по одному исходу;

2) На события Е1 и Е4 - по одному исходу,

на событие Е2 - два исхода: 1. А и В попали, С промахнулся,

2. А и С попали, В промахнулся,

на событие E3 - два исхода: 1. С попал, А и В промахнулись,

2. В попал, А и С промахнулись;

3) На события Е1 и Е4 - по одному исходу,

на событие Е2 - три исхода: 1. А и В попали, С промахнулся,

2. А и С попали, В промахнулся,

3. В и С попали, А промахнулся,

на событие E3 - три исхода: 1. С попал, А и В промахнулись,

2. В попал, А и С промахнулись,

3. А попал, В и С промахнулись;

4) Все предыдущие ответы верны;

5) Ответ дать нельзя, так как полная система событий записана неверно.

Вопрос 2. На складе лежат детали вида А. Для проверки выбирают три любые детали и проверяют их на наличие брака. Обозначим годную деталь символом «1», а бракованную символом «0». Найдите верное высказывание.

1) Полная система событий этого испытания (Е1, Е2, Е3), где Е1 - все детали годные, Е2 - все детали бракованные, Е3 - не все детали годные;

2) Полная система событий этого испытания (111, 110, 101, 011, 100, 010, 001, 000);

3) Полная система событий этого испытания (Е1, Е2, Е3, Е4), где

Е1 - все детали годные - событие с одним элементарным исходом «111»,

Е2 - все детали бракованные - событие с одним элементарным исходом «000»,

Е3 -только одна деталь годная - событие с одним элементарным исходом «100»,

Е4 -только одна деталь бракованная - событие с одним элементарным исходом «110»;

4) Полная система событий этого испытания (Е1, Е2, Е3, Е4), где

Е1 - все детали годные - событие с одним элементарным исходом «111»,

Е2 - все детали бракованные - событие с одним элементарным исходом «000»,

Е3 -только одна деталь годная - событие с двумя элементарными исходами «100, 001»,

Е4 -только одна деталь бракованная - событие с двумя элементарными исходами «110, 101»;

5) Полная система событий этого испытания (Е1, Е2, Е3, Е4), где

Е1 - все детали годные - событие с одним элементарным исходом «111»,

Е2 - все детали бракованные - событие с одним элементарным исходом «000»,

Е3 -только одна деталь годная - событие с тремя элементарными исходами «100, 010, 001»,

Е4 -только одна деталь бракованная - событие с тремя элементарными исходами «110, 101, 011».

Вопрос 3. При бросании двух игральных кубиков могут получиться следующие равновозможные результаты:

I II I II I II I II I II I II

1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1

1 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 2

1 3 2 3 3 3 4 3 5 3 6 3

1 4 2 4 3 4 4 4 5 4 6 4

1 5 2 5 3 5 4 5 5 5 6 5

1 6 2 6 3 6 4 6 5 6 6 6

После бросания двух кубиков подсчитывают сумму выпавших очков. Найдите неверное высказывание.

1) Полная система событий состоит из 11 событий;

2) Полная система событий состоит из 36 событий;

3) Событие «сумма очков равна 8» состоит из 5 элементарных исходов;

4) Событие «сумма очков равна 10» состоит из 3 элементарных исходов;

5) Событие «сумма очков равна 1» невозможное событие.

Вопрос 4. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей высшего качества, а второй - 84%. Запишите полную систему событий.

1) (Е1, Е2), где Е1 - деталь произведена 1 автоматом, Е2 - деталь произведена 2 автоматом;

2) (Е1, Е2), где Е1 - деталь высшего качества, Е2 - деталь не высшего качества;

3) (Е1, Е2), где Е1 - деталь бракованная, Е2 - деталь не бракованная;

4) (Е1, Е2, Е3, Е4), где Е1 - деталь высшего качества, произведенная 1 автоматом, Е2 - деталь высшего качества, произведенная 2 автоматом, Е3 - деталь не высшего качества, произведенная 1 автоматом, Е4 - деталь не высшего качества, произведенная 2 автоматом;

5) Все ответы верны.

Вопрос 5. Подбрасывают две одинаковые монеты. Обозначим буквой «О» выпадение орла, буквой «Р» - выпадение решки. Найдите верное высказывание.

1) Событие «ОО» - достоверное событие;

2) Событие «ОР» - невозможное событие;

3) Событие «РР» - возможное событие;

4) Полная система событий состоит из трех равновозможных событий;

5) Все высказывания неверны.

Задание 45

Используя формулу классической вероятности и правило произведения, найдите вероятность следующих событий.

Вопрос 1. На полке стоят 6 книг, 3 из них в твердом переплете. Наугад с полки берут три книги. Какова вероятность того, что все три книги в твердом переплете?

1) 1/2;

2) 3/6;

3) 1/20;

4) 3/20;

5) 6/20.

Вопрос 2. На столе лежат карточки с буквами «А», «А», «С», «Ш». Какова вероятность, что выстроив их в один ряд, получится слово «САША»?

1) 1/12;

2) 5/12;

3) 1/2;

4) 1/24;

5) 1/6.

Вопрос 3. На стадионе тренируются 7 спринтеров и 5 стайеров. Какова вероятность того, что два наугад выбранных спортсмена окажутся стайерами?

1) 5/7;

2) 5/12;

3) 7/12;

4) 5/33;

5) 7/33.

Вопрос 4. Какова вероятность, что при трех бросаниях игрального кубика все три раза выпадет шестерка?

1) 1/2;

2) 1/6;

3) 1/36;

4) 1/72;

5) 1/216.

Вопрос 5. Из урны, в которой 4 белых шара и 3 черных, случайным образом извлекают один за другим два шара.Какова вероятность того, что первым будет извлечен черный шар, а за ним - белый?

1) 1/42;

2) 13/42;

3) 2/7;

4) 1/49;

5) 2/49.

Задание 46

Вопрос 1. При шести бросаниях игрального кубика цифра 5 выпала 2 раза, цифра 4 выпала 2 раза, а цифры 3 и 2 выпали по одному разу. Какова по результатам этого наблюдения вероятность выпадения цифр 3 или 4?

1) 1/2;

2) 1/3;

3) 1/6;

4) 2/3;

5) 3/5.

Вопрос 2. При 100 бросаниях монеты 62 раза выпал «орел». Какова по результатам этого исследования вероятность выпадения «решки»?

1) 0,62;

2) 0,38;

3) 0,5;

4) 0;

5) 1.

Вопрос 3. Взвешивание детали на одном приборе дало такие результаты: 8,02 г; 7,99 г; 8,01 г; 8,01 г; 7,99 г; 8,00 г; 8,01 г; 8,02 г; 7,98 г; 8,00 г; Какова вероятность, что при следующем взвешивании результат окажется 8,00 г?

1) 0,1;

2) 0,2;

3) 0,3;

4) 0,7;

5) 0,9.

Вопрос 4. Исследования рождаемости в Польше в 1927 году показали, что за этот год родилось 496544 мальчика и 462189 девочек. Какова вероятность, что первый родившийся в 1928 году ребенок - мальчик?

1) 0,931;

2) 1,074;

3) 0,518;

4) 0,482;

5) Вероятность определить нельзя.

Вопрос 5. Стрелок выполнил 50 выстрелов. Из них 35 оказались удачными. Найдите вероятность попадания для этого стрелка.

1) 0,35;

2) 0,75;

3) 0,50;

4) 0,70;

5) Вероятность определить нельзя.

Задание 47

Используя формулу полной вероятности, решите следующие задачи.

Вопрос 1. Три студента сдают экзамен. Вероятности сдачи для каждого из них равны соответственно 0,4, 0,6 и 0,8. Какова вероятность того, что сдаст только один студент?

1) 0,2;

2) 0,3;

3) 0,4;

4) 0,5;

5) 0,6.

Вопрос 2. Три студента сдают экзамен. Вероятности сдачи для каждого из них равны соответственно 0,4, 0,6 и 0,8. Какова вероятность того, что сдаст хотя бы один студент?

1) 0,192;

2) 0,325;

3) 0,640;

4) 0,952;

5) 0,999.

Вопрос 3. При попадании в мишень пули, она опрокидывается. В такую мишень стреляют одновременно три человека. Известно, что стрелок А попадает в мишень с вероятностью 0,8, стрелок В - с вероятностью 1/3, а стрелок С - с вероятностью 0,75. Какова вероятность того, что мишень опрокинется?

1) 1/5;

2) 4/5;

3) 11/15;

4) 29/30;

5) 51/60.

Вопрос 4. На завод поступили детали от трех моторных заводов. От первого - 10 двигателей, от второго - 6 двигателей, от третьего - 4 двигателя. Вероятность безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что установленный на машине двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока?

1) 0,80;

2) 0,83;

3) 0,50;

4) 0,03;

5) 1,17.

Вопрос 5. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25 замков в смену, второй - 35 замков за смену, третий - 40 замков за смену. Брак составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Найти вероятность того, что случайно выбранный в конце смены замок окажется дефектным.

1) 0,008;

2) 0,014;

3) 0,0125;

4) 0,0345;

5) 0,9655.

Задание 48

Используя формулу Байеса, решите следующие задачи.

Вопрос 1. Два автомата производят одинаковые детали, которые поступают на общий конвейер. Производительность первого автомата вдвое больше производительности второго. Первый автомат производит 60% деталей отличного качества, а второй - 84%. Наудачу взятая с конвейера деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь произведена первым автоматом.

1) 0,16;

2) 0,33;

3) 0,50;

4) 0,59;

5) 0,68.

Вопрос 2. Мимо бензоколонки проезжают грузовые и легковые машины. Число грузовик машин относится к числу легковых машин как 3 : 2. Вероятность того, что будет заправляться грузовая машина, равна 0,1; для легковой машины эта вероятность равна 0.2. К бензоколонке подъехала на заправку машина. Найти вероятность того, что эта машина грузовая.

1) 0,57;

2) 0,43;

3) 0,2;

4) 0,1;

5) 0,06.

Вопрос 3. В специализированную больницу поступают в среднем 50% больных с заболеванием А, 30% - с заболеванием В, 20% - с заболеванием С. Вероятность полного излечения болезни А равна 0,7; для болезней В и С эти вероятности равны соответственно 0,8 и 0,9. Больной, поступивший в больницу был выписан здоровым. Найти вероятность того, что он страдал заболеванием А.

1) 0,35;

2) 0,45;

3) 0,50;

4) 0,70;

5) 0,77.

Вопрос 4. На завод поступили детали от трёх моторных заводов. От первого - 10 двигателей, от второго - 6 двигателей, от третьего - 4 двигателя. Вероятность безотказной работы этих двигателей в течении гарантийного срока соответственно равны 0,9;0,8 и 0,7. Какова вероятность того, что проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе?

1) 0,54;

2) 0,80;

3) 0,83;

4) 0,90;

5) 1,84.

Вопрос 5. На предприятии, изготавливающем замки, первый цех производит 25 замков в смену, второй - 35 замков за смену, третий - 40 замков за смену. Брак составляет соответственно 5%, 4%, 2%. Случайно выбранный в конце смены замок оказался дефектным. Найти вероятность того, что он изготовлен в третьем цехе.

1) 0,008;

2) 0,014;

3) 0,232;

4) 0,345;

5) 0,758.

Задание 49

Используя формулу Бернулли, найдите вероятности следующих событий.

Вопрос 1. В ящике лежат 6 белых и 4 чёрных шара. Из ящика извлекается один шар, фиксируется его цвет и шар возвращается в урну. Этот опыт проводят 4 раза. Какова вероятность, что ровно 2 раза попадется белый шар?

1) 0,1145;

2) 0,1654;

3) 0,3456;

4) 0,3634;

5) 0,5212.

Вопрос 2. Подбрасывают монету 10 раз. Какова вероятность трехкратного появления герба?

1) 0;

2) 0,044;

3) 0,117;

4) 0,439;

5) 0,500.

Вопрос 3. Вероятность того, что изделие не пройдет контроля, равна 0,125. Какова вероятность того, что среди 12 изделий не будет ни одного забракованного контролером?

1) 0,109;

2) 0,125;

3) 0,251;

4) 0,875;

5) 0,999.

Вопрос 4. Всхожесть семян растения равна 90%. Найти вероятность того, что из посеянных 4 семян взойдут не менее трех.

1) 0,09;

2) 0,29;

3) 0,66;

4) 0,95;

5) 0,99.

Вопрос 5. работают 4 магазина по продаже стиральных машин. Вероятность отказа покупателю в магазинах равна 0,1. Считая, что ассортимент товара в каждом магазине формируется независимо от других, определить вероятность того, что покупателю откажут не более чем в двух магазинах.

1) 0,0486;

2) 0,1296;

3) 0,2916;

4) 0,4212;

5) 0,4698.

Задание 50

Используя формулу наивероятнейшего числа появления событий, решите следующие задачи.

Вопрос 1. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле равна 0,8. Найти наиболее вероятное число попаданий в мишень при 5 выстрелах.

1) 1;

2) 2;

3) 3;

4) 4;

5) 5.

Вопрос 2. Доля изделий высшего сорта на данном предприятии составляет 30%. Сколько изделий высшего сорта, скорее всего, будет в случайно отобранной партии из 75 изделий?

1) 21;

2) 22;

3) 23;

4) 25;

5) 75.

Вопрос 3. Всхожесть семян составляет 80%. Сколько семян, скорее всего, взойдет, если посеяно 9 семян?

1) 7;

2) 8;

3) 7 или 8;

4) 9;

5) 8 или 9.

Вопрос 4. Сколько раз надо подбросить игральный кубик, чтобы наивероятнейшее число выпадения двойки было равно 32?

1) Необходимо провести 191 испытание;

2) Необходимо провести 197 испытание;

3) Необходимо провести не менее 191 испытаний;

4) Необходимо провести не более 197 испытаний;

5) Необходимо провести от 191 до 197 испытаний.

Вопрос 5. Какова вероятность наступления события А в каждом испытании, если наивероятнейшее число наступления события А в 120 испытаниях равно 32?

1) р≈0,264;

2) р≈0,273;

3) р≈0,537;

4) 0,264≤р≤0,273;

5) 0,264≤р≤0,537.

Задание 51

Найти закон распределения дискретной случайной величины в каждом из случаев.

Вопрос 1. Подбрасываются две монеты. случайная величина х - это число выпавших орлов.

1)

х 0 1

р 0,5 0,5

2)

х 0 1

р 0,25 0,75

3)

х 0 1 2

р 0,25 0,50 0,25

4)

х 1 2 3

р 0,25 0,25 0,50

5)

х 0 1 1 2

р 0,25 0,25 0,25 0,25

Вопрос 2.В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Случайная величина х - это число красных карандашей в коробке.

1)

х 0 1

р 3/7 4/7

2)

х 0 1

р 3/7 1/4

3)

х 0 1

р 7/11 4/11

4)

х 1 2 3

р 12/35 18/35 5/35

5)

х 0 1 2 3

р 1/35 12/35 18/35 4/35

Вопрос 3. Два стрелка делают по одному выстрелу в одну мишень. Вероятность попадания для первого стрелка при одном выстреле р1=0,5, для второго р2=0,4. Случайная величина х - число попаданий в мишень.

1)

х 0 1

р 0,3 0,7

2)

х 0 1

р 0,5 0,5

3)

х 0 1 2

р 0,3 0,5 0,2

4)

х 0 1 2

р 0,2 0,5 0,3

5)

х 0 1 1 2

р 0,3 0,3 0,2 0,2

Вопрос 4. Игральный кубик бросают 4 раза. Случайная величина х - количество выпадений числа 6

1)

х 0 1

р 5/6 1/6

2)

х 1 2 3 4

р 0,4019 0,1608 0,0322 0,0032

3)

х 0 1 2 3 4

р 0,4019 0,4019 0,1608 0,0322 0,0032

4)

х 0 1 2 3 4 5

р 0,4019 0,4019 0,1608 0,0321 0,0032 0,0001

5)

х 1 2 3 4 5 6

р 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Вопрос 5. Устройство состоит из трех независимо работающих элементов. Вероятность отказа каждого элемента в одном опыте равна 0,1. Случайная величина х - количество элементов, отказавших в одном опыте.

1)

х 0 1

р 0,1 0,9

2)

х 0 1

р 0,729 0,271

3)

х 0 1 2

р 0,730 0,243 0,027

4)

х 0 1 2

р 0,243 0,027 0,01

5)

х 0 1 2 3

р 0,729 0,243 0,027 0,001

Задание 52

Заданы законы распределения дискретных случайных величин х и у. Используя определение и свойства математического ожидания, определите следующие математические ожидания.

х 3 4 5 6 7

р 0,1 0,2 0,2 0,4 0,1

у -4 -2 0 2 4

р 0,1 0,2 0,15 0,25 0,3

Вопрос 1. М(х)

1) 0,2;

2) 1;

3) 5;

4) 5,2;

5) 25.

Вопрос 2. М(у)

1) 0;

2) 0,2;

3) 0,9;

4) 2;

5) 4.

Вопрос 3.М(3х), М(х/2)

1) 15,6 и 2,6;

2) 0,6 и 0,1;

3) 3 и 0,5;

4) 15 и 2,5;

5) 75 и 12,5.

Вопрос 4.М(у+2), М(10-2у)

1) 2 и 10;

2) 0 и 6;

3) 6 и 2;

4) 2,2 и 9,6;

5) 2,9 и 8,2.